回憶 $\Delta$ 定義如下：
\[
\Delta := \frac{\partial f}{ \partial S}
\]亦即表示為 選擇權價格 $f$ 對 股價 $S$ 的變化率。(由於其為一階導數，故為斜率)
現在來看個例子：
Example 1 : (Delta Hedging)
如果 $\Delta = 0.6$ 則表示當股價 些微變化 的時候，對應的選擇權價格變化大約是股價變化值 的 $60 \%$。
下圖顯示了一組 $\Delta$ 值在某時刻的例子：
考慮上圖，假設股價為 $\$ 100 $，Call option 價格為 $ c= \$ 10$，現在考慮某金融機構的交易員賣出了 $20$ 份 Call option (一份選擇權對應其持有者可以有權購買 $100$ 股，亦即 $20$ 份call option 共 $x= 20 \times 100 = 2000$ 股)。此時如果不進行避險，則當股價上升時，該交易員會暴露風險之中：
簡單的說，現在有兩個人物：
- 賣出 call option 的交易員
- 跟交易員 購買 call option 的客戶
而交易員的 $\Delta_{trader} = -0.6$， (由於交易員是 "賣出" 選擇權，故當股票價格上升，則選擇權會被執行，此情形時將對交易員產生風險。故此 $\Delta$ 對 交易員而言是負值)
現在，站在交易員的觀點，如果不進行避險，則交易員本身的潛在損失為
\[
-0.6 \times 2000 =-1200 \ \text{shares}
\]
我們必須消除賣出 Call option所帶來的 風險，此時交易員可進行 $\Delta$-Hedging 來補足缺少的 $1200$ 股 股票。：
由於交易員是 "賣出" Call option ，故避險方法便是進行反向操作，也就是可以透過 "買入" 一定量股票來抵銷當 股價上升時，Call option 被執行所帶來的損失風險，故
購買 $\Delta \times x = 0.6 \times 2000 =1200$ 股股票
此時如果 股票上漲 $1$ 元，則交易員 買入的股票會上升 $1200$ 元 (賺 $1200$ 元)，而由 圖中 $\Delta =0.6$ 可知 Call option 會上漲 $0.6$ 元，故如果此時 Call option 被持有者執行，則交易員會損失 $0.6 \times 2000 = \$ 1200$ 此數值剛好會跟交易員進行避險時候買入的股票所賺取的 $1200$ 抵銷。
相反的如果股票下跌 $1$元，則交易員 買入的股票會下跌 $1200$ 元 (損失 $1200$ 元)，而由圖中 $\Delta =0.6$ 可知 Call option 亦會下跌 $0.6$ 元，此時選擇權不會被執行，則交易員因為賣出選擇權 會賺得 $ \$ 1200$ 此數值剛好會跟交易員進行避險時候賣出的股票所損失的 $1200$ 抵銷。 $\square$
Comment:
1. 注意到上述例子中，由於 $\Delta$ 會變動，故抵銷後的 $\Delta$-Hedging 只能維持一段極短時間，也就是需要不斷的調整 $\Delta$-Hedging ，此稱為 Rebalancing。一般而言，隨時間不斷調整的 避險策略 統稱為 $Dynamic Hedging$，這邊展示的是利用 $\Delta$ 進行避險
2. $\Delta$ 在 Nondividend Black-Scholes formula 中等價為 $N(d_1)$；亦即
\[
\Delta := \frac{{\partial f}}{{\partial S}} = N\left( {{d_1}} \right)
\] 其中 $N(\cdot)$ 為 Cumulative normal distribution。
3. $\Delta$ -Hedging 並非 Perfect Hedging。(WHY!? 理由同 comment 1 )
Example 2 (Delta-Hedging )
考慮 造市商(market-maker) 賣出 $K=40$ 的 call-option on 100 股 股票，且
$ \sigma=0.3$, $r=0.08 $ 連續複利
現在考慮 Day 0，$S=\$40$, $c =\$2.78$, $\Delta=0.58$
如何進行 $\Delta$-hedging?
How much cost you to create such a $\Delta$-hedging ?
現在再考慮 Day 1，$S=40.5, c= \$ 3.06$, $\Delta=0.61$
如何進行 $\Delta$-hedging?
Overnight Mark-to-market profit/loss ?
現在再考慮 Day 2，$S=39.25, c= \$2.328$, $\Delta=0.53$
Overnight Mark-to-market profit/loss ?
Solution:
考慮 時刻為 DAY 0
首先考慮不進行避險情況，market-maker 本身為 $-\Delta \times 100 = -58$，故需要補足此 $58$ 股股票，亦即需要購買 $58$ 股 股票即可達成 DAY0 $\Delta$-Hedging。
接著我們可以計算要花多少錢才可以建構此避險策略： ( 賣出選擇權 與 購入 股票之後的花費)：
\[
58 \times 40 - 2.78 \times 100 = \$ 2042
\]故我們知道建構此避險策略需要花費 $\$ 2042$，故我們可借入此金額並考慮利率，亦即我們借入 $2042 \times e^{8\%/365} = 2042.45$，故利息為 $2042.45-2042=\$ 0.45$。現在總結 Day 0 如下：
購入 $58$ 股股票 達成避險，然後我們需要借入 $2042$ 元 並支付利息 $0.45$ 來達成此避險策略。
接著考慮 DAY 1
此時相關資訊(股價、選擇權價格、Delta)變動為 $S=40.5, c= \$ 3.06$, $\Delta=0.61$
我們可以先行計算 Overnight mark-market profits/loss :
\[
(40.5-40) \cdot (58) - (3.06-2.78) \cdot (100) - 0.45 = 0.55
\] 由於此時 $\Delta =0.61$ 已經改變，故我們需要重新調整股票數來消除風險。
首先考慮不進行避險情況，market-maker 本身為 $-\Delta \times 100 = -61$，故需要補足此 $61$ 股股票，但由於在 DAY0 已經購入 $58$ 股，故我們只需再購買 $61-58 = 3$ 股 股票即可達成 DAY1 $\Delta$-Hedging。
現在我們來計算達成此避險策略所需的花費 (DAY1 total cost )：
\[
61 \times 40.5 - 3.06 \times 100 = 2164.5
\] 同樣地，我們可以得知需要借入 $2164.5$ 元 且須支付利息為 $2164.5e^{8\%/365} - 2164.5=0.47$
考慮 DAY2 Mark-market Profits/loss：
此時相關資訊(股價、選擇權價格、Delta)變動為 $S=39.25, c= \$2.328$, $\Delta=0.53$
\[
(39.25-40.5) \cdot 61 - (2.328-3.06) \cdot 100 - 0.47 = -3.52 \ \ \ \ \square
\]
ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.
