延續前篇,回憶 對於 週期訊號 $x(t)$ 我們可寫下其對應的 Fourier Series Representation 如下 \[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t} \] 其中 $\omega_0$ 為週期訊號的基本頻率 (fundamental frequency)。$a_k$ 稱為 Fourier Series 的係數。之前我們已經討論過 給定 Fourier Series 係數,我們可以重建週期 $x(t)$,現在我們專注 在 給定 週期訊號 $x(t)$,如何反求 Fourier Series 的係數。 如前所述,現在給定 平滑(smooth)有界 週期訊號 $x(t)$ 且假設其可以寫下對應的 Fourier Series Representation: \[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t} \] 對兩邊同乘 $e^{-j n \omega_0 t}, \; n \in \mathbb{Z}$ 可得 \[x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}} = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}} \]接著在對等式兩邊同積分從$0$ 積到 $x(t)$ 的基本週期(fundamental period) $T$ $(T=2\pi/\omega_0)$,亦即 \[\begin{array}{l} \int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = \int_0^T {\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}} } dt\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}\int_0^T {{e^{j\
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya