謝宗翰的隨筆

延續前篇，回憶 對於 週期訊號 $x(t)$ 我們可寫下其對應的 Fourier Series Representation 如下
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 其中 $\omega_0$ 為週期訊號的基本頻率 (fundamental frequency)。$a_k$ 稱為 Fourier Series 的係數。之前我們已經討論過 給定 Fourier Series 係數，我們可以重建週期 $x(t)$，現在我們專注 在 給定 週期訊號 $x(t)$，如何反求 Fourier Series 的係數。

如前所述，現在給定 平滑(smooth)有界 週期訊號 $x(t)$ 且假設其可以寫下對應的 Fourier Series Representation：
 \[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 對兩邊同乘 $e^{-j n \omega_0 t}, \; n \in \mathbb{Z}$  可得
\[x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}}
\]接著在對等式兩邊同積分從$0$ 積到 $x(t)$ 的基本週期(fundamental period) $T$ $(T=2\pi/\omega_0)$，亦即
\[\begin{array}{l}
\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = \int_0^T {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}} } dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} …

在系統理論中，週期訊號是非常重要的一類訊號，我們將在這篇文章介紹 對於週期訊號的頻域處理： Fourier Series Representation。本質上想法就是企圖將 週期訊號 透過 Complex exponentials 展開 (或者等價 用 sin 與 cos 展開)。

Comment:
1. 上述句子提及的展開 表示 週期訊號 可以透過 complex exponential 透過線性組合 建構。
2. 儘管 Fourier Series 對"大部分" 週期訊號 (e.g., 連續週期訊號)都成立。但若欲擴展到 "任意" 週期訊號的 Fourier Series Representation 須加上額外條件保證 Fourier Sereis 收斂，此部分會在後續文章再做討論。
3. 注意到若訊號為 "非週期"訊號，則 Fourier Series 不能使用，需引入 Fourier Transform!! 關於 Fourier Transform 的議題我們會在之後再做討論。 (基本想法仍不變，只是將非週期訊號 "看成" 週期訊號 但週期為無窮大)


======================
Definition: (Continuous Time Periodic Signal)
我們稱一個訊號 $x(t)$ 為週期訊號 (periodic signal) 若下列條件成立：
對任意時間 $t>0$ 存在一正實數 $T >0$，使得
\[
x(t) = x(t + T)
\]======================
下圖為連續時間的週期訊號的一個例子

我們稱 $T_0$ 為 週期訊號 $x(t)$ 的基本週期(fundamental period) 若下列條件滿足：
取最小週期 $T_0 = T>0$ 使得 $x(t) = x(t+T)$仍然成立。

由基本週期的定義，我們可透過 $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ 定義 基本頻率 (fundamental frequency, $\omega_0$)
\[
\omega_0 := \frac{2 \pi}{T_0}
\] Example
考慮
\[x\left( t \right) = 1…

考慮離散時間系統
\[
x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
\]若 $A$ 為 穩定矩陣，且 $u(k) \to 0$ 則 $x(k) \to 0$

Proof:
我們要證明  $x(k) \to 0$，故給定任意 $\varepsilon>0$，要證明 存在 $M>0$ 使得 對任意 $k \ge M$，我們有
\[
|x(k)| \le \varepsilon
\]
注意到該系統 $x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)$ 的解為
\[{x(k) = {A^k}x(0) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{A^{k - 1 - j}}Bu(j)} }
\]兩邊同取 norm 並利用三角不等式 可得
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {x(k)} \right| = \left| {{A^k}x(0) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{A^{k - 1 - j}}Bu(j)} } \right|}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \left| {{A^k}} \right|\left| {x(0)} \right| + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left| {{A^{k - 1 - j}}} \right|\left| B \right|} \left| {u(j)} \right|}
\end{array}\ \ \ \ \ (*)
\]回憶 Horn 與 Johnson (1985) 的結果：
==================
FACT:
\[
|A^k| \le c \lambda^k, \; c>0 \;\; \max_i |eig_i(A)| < \lambda <1
\]==================
故
\[\left| {x(k)} \right| \le c{\lambda ^k}\left| {x(0)} \right| + c\left| B \right|\sum\limits_{j = 0}^{\infty} {{\lambda ^{k - 1 - j}}\lef…

前陣子偶然發現個人 Sony Vaio 筆電 (Windows 8 作業系統) 的 "系統插斷" 程式 經常呈現異常性占用CPU資源 10~30% 左右，此類問題多半是硬體相衝所導致。下圖為 "系統插斷" 正常CPU使用情況圖


經過查詢之後發現 主因是筆電內建顯卡(Intel HD Graphics 3000) 與 獨立顯卡 (AMD Radeon 6700M) 硬體相衝問題。(多半是 Intel 顯卡有相衝問題，需要更新驅動)

解決方法很簡單，如果有發現異常 系統插斷占用，可以前往 Intel  與 AMD 官方網站 更新顯卡驅動到最新版本便可解決。

一般而言控制理論中有三大重要性質
可控制性 (controllability)可觀測性 (observability)穩定性 (stability)
這次主要是介紹 動態系統 的 可控制性(Controllability)。

考慮 $n$ 個狀態 且 $p$ 組輸入的狀態方程
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)
\]其中 ${\bf A}(t)$ 為 $n \times n$ 時變矩陣，${\bf B}(t)$ 為 $n \times p$ 時變矩陣。

控制性的基本想法如下：
若系統某狀態 $\bf x$ 可以透過某對應的控制力 $\bf u$ 來影響 (在有限時間 $t$ 中從任意狀態 $x_0$ 被移動到指定狀態 $x(t)$)，則我們稱此狀態為可控制。

由於輸出方程與系統控制性無關，我們這邊只考慮狀態方程。

以下先給出對於線性非時變系統 其 系統可控制性的定義

=====================
Definition: (Controllability for LTI system)
我們稱狀態方程
\[
{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)
\] 或者一組 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 為在時刻 $t_0$ 可控制(controllable)，若下列條件成立:
對任意初始狀態 ${\bf{x}}\left( t_0 \right) = {\bf x}_0$ 與 終止狀態 ${\bf x}_1$，存在時刻 $t_1 \ge t_0$ 與 一組輸入訊號 ${\bf u}(t)$ 使得可以在有限時間 $t_1$ 內將 ${{\bf{x}}_0}$ 送至 ${{\bf{x}}_1}$。反之我們稱此 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 不可控制 (uncontrollable)。
======================

那麼該如何檢驗控制性? 我們…

這次要介紹如何 透過 Lyapunov Theorem 來檢驗線性系統 ${\bf{\dot x}} = {\bf{Ax}}$ 的漸進穩定度 (Asymptotic Stability)。關於非線性系統的漸進穩定度讀者可參考下列兩篇文章：
 [系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (0) - 先備概念[系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (1) - Lyapunov Stability Theory
現在回憶我們先前提過控制系統的兩種絕對穩定度：BIBO穩定 與 漸進穩定度。
概念上 BIBO穩定為插上電源看看系統會不會壞掉，漸進穩定則是測試拔掉電源看看系統會不會停止。

Lyapunov Energy Ideas
一般而言，Lyapunov 觀點是透過能量的角度看系統穩定度。也就是說考慮系統狀態 ${\bf{x}}\left( t \right) $，那麼
 \[
{\bf{x}}\left( t \right) \to 0 \Leftrightarrow {{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) \to 0
\] 注意到上述 ${{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right)$ 可看成能量。那麼為了達成上式，我們可以透過 能量對時間的變化率 (系統狀態能量對時間微分) 若為負值，則表示能量在逐漸溢散(decaying energy)，亦即可透過
\[
\frac{d}{dt} {{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) <0
\] 達成 ${\bf{x}}\left( t \right) \to 0 \Leftrightarrow {{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) \to 0$

注意：這邊我們說 ${\bf{A}}$ 矩陣為穩定若下面條件成立：
對 ${\bf{A}}$ 的所有 eigenvalue 有負實部。

現在我們看一個例子來展示 Lyapunov Energy Idea，

Example
考慮
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}…

這次要介紹線性系統的穩定度。一般而言在設計控制系統的時候第一步就是要檢驗系統是否穩定，如果不穩定則往往導致系統損毀。不可不慎。

一般而言控制系統穩定度可區分兩類

絕對穩定度：
指系統是否穩定的指標：一般而言有 BIBO 穩定 與 漸進穩定。相對穩定度：指系統穩定程度的指標: 一般而言由 pole location，Phase Margin, Gain Margin 決定 而一般穩定度的判別方法也有兩種
Routh-Hurwitz criterion
只適用於線性系統，有興趣讀者可自行參閱任何一本自動控制教科書都會有詳細介紹。Lyapunov energy approach
對線性/非線性系統皆適用。Comment: 給不關心理論的讀者：事實上，在實用面上，大多時候我們可以直接使用 MATLAB 等套裝軟體直接求解 eigenvalue 並且判斷是否落在 s-plane 的左半面即可 (如果落在左半面不含虛軸，我們稱此系統 "穩定" )。



考慮一個 SISO LTI 系統描述如下：
\[
y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d \tau = \int_0^t g(\tau) u(t- \tau)d\tau
\]其中 $g(t)$ 為系統脈衝響應(impulse response)

現在我們給出下面定義
====================
Definition: Bounded function
一個輸入函數 $u(t)$ 稱作有界 (bounded) 如果下列條件成立：
若存在一個夠大的常數 $u_M$ 使得
\[
|u(t)| \le u_M < \infty, \; \forall t \ge 0
\]====================


有了有界函數的定義，我們可以定義何謂 BIBO 穩定
====================
Definition: BIBO stability
一個系統被稱為 BIBO stable (Bounded input bounded output stable) 若下列條件成立：
對任意有界輸入，系統都產生有界輸出。則此系統為 BIBO 穩定。
====================

Comment:
1. BIBO 穩定度 只定義在 zero-state respons…