延續前篇,這次要介紹的是 Discrete Time Linear Quadratic Regulator in Infinite Horizon 或稱 Steady State LQR。 ================ LQR Problem (Infinite Horizon LQR): 考慮離散狀態方程: \[ x(k+1) = A x(k) + B u(k) \]其中 $x(k) \in \mathbb{R}^n, A\in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}, u(k) \in \mathbb{R}^{m \times 1}$且 $(A,B)$ controllable。 定義 Performance index: \[ J(u) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} x^T(k+1) Q x(k+1) + u^T(k) R u(k) \] 其中 $Q, R$ 必須滿足 $Q^T = Q, Q \succ 0$, $R^T = R, R \succ 0$。 (亦即 $Q, R$ 必須為 對稱 + 正定 矩陣) 試求出一組最佳控制力序列 $u^*$ 使得成本函數 $J(u)$ 最小。 ================ Comment: 讀者須注意到 Infinite Horizon 的 LQR問題要求計算 Performance index 為無窮級數和,此解必須保證收斂。以下定理告訴我們何時 此 Performance index 收斂 Lemma 考慮離散系統 $x(k+1) = A x(k) + B u(k)$,若 $(A,B)$ 可控制,且選 $Q, R >0$ 為正定矩陣,則上述 infinite horizon LQR 問題保證 閉迴路系統 狀態收斂到 $0$ 且 cost 為有界。 Proof: omitted. (see J. B. Rawlings and D. Q. Mayne, "Model Predictive Control: Theory and Design, p. 24", 2009) 現在我們可以開始求解 Infinite Horizon