謝宗翰的隨筆

延續上篇 [衍生商品] 希臘值與動態避險 (1)-Delta Hedging Example ，這次要介紹 希臘值 Gamma: $\Gamma$，此參數定義為
\[
\Gamma := \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}
\] 亦即為標的資產價格 $S$ 的二次偏導數。

注意到之前我們定義過 $\Delta := \frac{\partial f}{\partial S}$，故 $\Gamma$ 可視為選擇權 $\Delta $ 的變化 與 標的資產價格 $S$ 變化的比率。

Comment
1. 當 $\Gamma $ 很小的時候，表示 $\Delta$ 變化緩慢 (stable $\Delta$) (亦即對標的資產價格變動不敏感)，故此時對於 $\Delta$-Hedging 所需的 Rebalance 不需太過頻繁。但是若 $\Gamma$ 很大的時候，表示 $\Delta$ 變化劇烈，亦即對標的資產價格變動非常敏感，故此時 $\Delta$-Hedging 需要頻繁的做 Rebalance 來確保 Delta-Neutral ($\Delta =0$)。

2. 如果考慮的是一個 選擇權交易組合的 $\Gamma$，則其定義為
\[
\Gamma := \frac{\partial^2 \Pi}{\partial S^2}
\] 其中 $\Pi$ 為選擇權交易投資組合的價格。

假定且我們假設 標的資產的波動度為 Constant，則投資組合的價格為資產價格 $S$ 與 時間 $t$ 的函數，亦即我們可對 $\Delta \Pi$ 做泰勒展開求資產價格的變化
\[
\small{\Delta \Pi  = \underbrace {\frac{{\partial \Pi }}{{\partial S}}}_\Delta \Delta S + \underbrace {\frac{{\partial \Pi }}{{\partial t}}}_\Theta \Delta t + \frac{1}{2}\underbrace {\frac{{{\partial ^2}\Pi }}{{\partial {S^2}}}}_\Gamma \Delta {S^2} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}\Pi …

回憶前篇 [衍生商品] 希臘值與動態避險 (0) - Delta and Delta Neutral ，這次要介紹如何利用 $\Delta$ 進行動態避險。

回憶 $\Delta$ 定義如下：
\[
\Delta := \frac{\partial f}{ \partial S}
\]亦即表示為 選擇權價格 $f$ 對 股價 $S$ 的變化率。(由於其為一階導數，故為斜率)

現在來看個例子：

Example 1 : (Delta Hedging)

如果 $\Delta = 0.6$ 則表示當股價 些微變化 的時候，對應的選擇權價格變化大約是股價變化值 的 $60 \%$。
下圖顯示了一組 $\Delta$ 值在某時刻的例子：


考慮上圖，假設股價為 $\$ 100 $，Call option 價格為 $ c= \$ 10$，現在考慮某金融機構的交易員賣出了 $20$ 份 Call option (一份選擇權對應其持有者可以有權購買 $100$ 股，亦即 $20$ 份call option 共 $x= 20 \times 100 = 2000$ 股)。此時如果不進行避險，則當股價上升時，該交易員會暴露風險之中：

簡單的說，現在有兩個人物：
賣出 call option 的交易員跟交易員 購買 call option 的客戶 此時客戶的 $\Delta_{Customer} =0.6$ (因為購入call option，當股價上升對顧客有利，此時 $\Delta >0$)
而交易員的 $\Delta_{trader} = -0.6$， (由於交易員是 "賣出" 選擇權，故當股票價格上升，則選擇權會被執行，此情形時將對交易員產生風險。故此 $\Delta$ 對 交易員而言是負值)

現在，站在交易員的觀點，如果不進行避險，則交易員本身的潛在損失為
\[
-0.6 \times 2000 =-1200 \ \text{shares}
\]
我們必須消除賣出 Call option所帶來的 風險，此時交易員可進行 $\Delta$-Hedging  來補足缺少的 $1200$ 股 股票。：

由於交易員是 "賣出" Call option ，故避險方法便是進行反向操作，也就是可以透過 "買入" 一定量股票來抵銷當 股價上…

這次要介紹的是選擇權訂價一個重要的關係：買權賣權等價關係 (Put-Call Parity)：

想法： 利用 Option 建構一個 合成的 Forward contract ，再來比較其 payoff

現在考慮 當前股價為 $S_0$ 的 無配發股息的股票 (Non-dividend paying stock)，且 $C, P$ 為對應的 Call option 與 Put option 的價格；現在我們透過 Buying a call + Short a put 可以得到 Synthetic forward 如下圖 Payoff (點圖放大)

注意到上圖右方合成之後的 Payoff 圖等價 Long a forward ，故我們稱此利用 Option 所合成出來的 Forward 為 Synthetic forward。

另外，如果我們觀察對於 Synthetic Forward 而言，我們是透過 Buying a call + short a put 達成，故其當前的 Payoff  (Payoff Today) 可寫為 $-C + P$ (買一份 call $ = -C$，賣出一份 put $=+p$)；且 Payoff at Expriation date 為 $S_T - K$

另外對於標準 Forward 而言，其 Payoff Today $=0$ (由於 Forward 並不需支付premium，故 Payoff today =0)；而 Pay off at Expriation date 為 $S_T -F_0$

因為我們的 Synthetic Forward 是用來 mimic 標準的 Forward ，故此兩者之 Payoff 必須等價，我們將所有的 payoff 都折現到 Today 來比較：

Payoff Today :
\[
-C + P + PV(S_T - K) = 0 + PV(S_T - F_0) \\
\Rightarrow C-P =  PV( F_0 - K)
\] 又由於對 Forward 而言 $PV(F_0) := S_0$，故我們得到
\[
C-P =  S_0 - PV( K)
\] 上式稱為 歐式選擇權 無支付股息 的 Put-Call Parity。

注意到如果上式出現
\[
C-P \neq  S_0 - …

延續上篇 [衍生商品] 淺談選擇權 (0) - Moneyness and profit/payoff of Option ，我們目標是要找出合理的定價。但目前對上述並無頭緒，只知道 選擇權價值 = 內在價值與時間價值。
\[
\text{Option Value $=$ Intrinsic Value $+$ Time Value}
\] 然後 由報價中，我們可以發現有一些參數似乎會影響我們對選擇權的定價。

現在我們總結需要的參數：

$K$: 執行價格 (Strike Price)
$S_0$: 當前標的資產價格 (這邊我們以當前股價表示) (Current Stock Price)
$\sigma$: 股價波動度 (Volatility) $T$ : 到期時間 (Expiration time)
$r$ : 無風險利率 (risk-free interest rate)
$D$: 股息 (Dividend)
Style: 美式選擇權 或者 歐式選擇權。

接著我們討論當上述參數變動的時候，會對選擇權價格造成甚麼影響?

Varying Strike Price $K$： 現在考慮兩個不同的執行價格 $K_1, K_2$ 且 $K_1 < K_2$，則我們知道對於 Call option 而言，越低的執行價格代表越此 Call option 獲利機會相對較大，故Call option 售價在較低的 執行價格 應越高 \[ C(K_1) > C(K_2) \] 對 Put Option 而言，情況則相反 \[ P(K_1) < P(K_2) \] 那麼現在如果我們考慮兩選擇權除了 Strike price 以外其餘參數皆相同，則我們有如下重要結果： \[\left\{ \begin{array}{l} {K_2} - {K_1} \ge C({K_1}) - C({K_2}) \ge 0\\ {K_2} - {K_1} \ge P({K_2}) - P({K_1}) \ge 0 \end{array} \right.\]

Varying  Expiration Time $T$： 1. 對於美式選擇權而言，越長的 $T$ 表示有越多機會可以 執行，故 $T$ 增大 $\Rightarrow$ 選擇權價格上升
2. 如果對歐式選擇權，到期時間的效果無法看出…

選擇權 (Option) 定義： 為一個非綁定合約，給予 持有者 在合約上約定的 (未來)到期日期 (Expriation date)，依照合約上約定的 執行價格 (Strike price)，買入或者賣出標的資產 (EX: 股價、指數、外匯利率) 的權利。

Comment
1. 上述 非綁定合約，意指 持有者不一定要履行選擇權。亦可選擇放棄履行
2. 選擇權 與 期貨 (futures) 最大差別在於 選擇權買方需先支付權利金 (premium) 給賣方。但期貨無須先支付權利金。

選擇權依照分類有兩種：

1. 買權 (Call option): 
在指定到期日期，持有者有權利以 Strike price 購買 標的資產
下圖為購買一組買權： Long (=Buy) a Call Option 在到期日的 Payoff 與 Profits (點圖放大)


上圖中 $C$ 表示 Call option 價格，而 $FV(C)$ 則為 到期時刻 Call option 的 future value，$K$ 為執行價格， $S_T$ 為到期日時的股價。其 Payoff 與 Profit 用數學表示可寫為：
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{Payoff}}{{\rm{}}_{Call}}:\max \left\{ {{S_T} - K,0} \right\}\\
{\rm{Profit}}{{\rm{}}_{Call}}:\max \left\{ {{S_T} - K,0} \right\} - FV\left( C \right)
\end{array} \right.\]

2. 賣權 (Put option): 
在指定到期日期，持有者有權利以 Strike price 賣出 標的資產 下圖為 購買一組賣權 Long (=Buy) a Put Option 在到期日的 Payoff 與 Profits (點圖放大)
上圖中 $P$ 表示 Put option 價格，而 $FV(P)$ 則為 到期時刻 Put option 的 future value，$K$ 為執行價格， $S_T$ 為到期日時的股價。其 Payoff 與 Profit 用數學表示可寫為：
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{Payoff}}{{\…

延續前篇，這次要介紹的是 Discrete Time Linear Quadratic Regulator in Infinite Horizon 或稱 Steady State LQR。

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LQR Problem (Infinite Horizon LQR)：
考慮離散狀態方程：
\[
x(k+1) = A x(k) + B u(k)
\]其中 $x(k) \in \mathbb{R}^n, A\in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}, u(k) \in \mathbb{R}^{m \times 1}$且 $(A,B)$ controllable。
定義 Performance index：
\[
J(u) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} x^T(k+1) Q x(k+1) + u^T(k) R u(k)
\] 其中 $Q, R$ 必須滿足 $Q^T = Q, Q \succ 0$， $R^T = R, R \succ 0$。 (亦即 $Q, R$ 必須為 對稱 + 正定 矩陣)

試求出一組最佳控制力序列 $u^*$ 使得成本函數 $J(u)$ 最小。
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Comment:
讀者須注意到 Infinite Horizon 的 LQR問題要求計算 Performance index 為無窮級數和，此解必須保證收斂。以下定理告訴我們何時 此 Performance index 收斂

Lemma
考慮離散系統 $x(k+1) = A x(k) + B u(k)$，若 $(A,B)$ 可控制，且選 $Q, R >0$ 為正定矩陣，則上述 infinite horizon LQR 問題保證 閉迴路系統 狀態收斂到 $0$ 且 cost 為有界。

Proof: omitted. (see J. B. Rawlings and D. Q. Mayne, "Model Predictive Control: Theory and Design, p. 24", 2009)


現在我們可以開始求解 Infinite Horizon LQR問題：
Solution
回憶 Steady Stat…

這次要介紹 控制理論中一個重要的結果：
 Discrete Time Linear Quadratic Regulator (LQR) in Finite Time Horizon，
中文翻譯為 離散時間線性二次調節器，我們這邊會針對此問題利用 Dynamic Programming 的方法來逐步求解

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LQR Problem (Finite Horizon)：
考慮狀態方程：
\[
x(k+1) = A x(k) + B u(k)
\]其中 $x(k) \in \mathbb{R}^n, A\in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}, u(k) \in \mathbb{R}^{m \times 1}$
且 考慮 Performance index：
\[
J(u) = \displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} x^T(k+1) Q x(k+1) + u^T(k) R u(k)
\] 其中 $Q, R$ 必須滿足 $Q^T = Q, Q \succ 0$， $R^T = R, R \succ 0$。 (亦即 $Q, R$ 必須為 對稱 + 正定 矩陣)

試求出一組最佳控制力序列 $u(N-1), u(N-2),... u(0)$ 使得成本函數 $J(u)$ 最小。
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Comment:
1. LQR 顧名思義是其具有系統狀態方程為線性 $x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)$ 與  Performance Index 中的項都為二次式。
\[
J(u) = \displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} x^T(k+1) Q x(k+1) + u^T(k) R u(k)
\]
2. 上述對於矩陣 $Q, R$ 的對稱與正定假設是必須的 (之後需求在求解最佳控制力序列的時候需要求解反矩陣，故需要這些性質。)

3. 上述 LQR in Finite Horizon的問題所求得的最佳控制力序列為 Time Varying 。(此性質會在下面求解的時候再度強調。)

4. 若 Performance index 考慮 $N \rightarrow \infty$，亦即
\[
J(u) = \displays…