跳到主要內容

發表文章

目前顯示的是 12月, 2013的文章

[控制理論] 線性化(Linearization)

這次要跟大家介紹的是 線性化 (Linearization) 的概念,讀者建議須先具備基本 Taylor Series 概念,如果不熟悉的讀者可先參閱  [微積分] 泰勒展開式 與 泰勒級數  。 為何要做線性化? 其實線性化的動機很簡單,主要是因為一般在分析動態系統的時候,大部分系統行為都是呈現非線性(EX: 電路系統(二極體 I/V curve),倒單擺、撓性機構、機器人、生物細胞、金融模型...),但這些非線性行為會有一個大的困難,就是難以直接求解其動態行為。且發展成熟的線性系統理論沒有辦法(有效的)應用在上面,但如果能夠透過一些假設/機制,我們可以把原本非線性的系統轉成線性系統,如此一來原本沒辦法使用的線性系統理論便可以派上用場!! 如何做線性化? 至於實際如何做到對任意 非線性函數 (e.g., $\sin, \cos, \exp, x^n$, ...)線性化呢? 簡單來說,就是採用切線 (微分) 的概念,如果我們對關心的某一點對該點取導數,則我們可以得到一條對該點的切線,此切線可以在某種程度上用來近似 該點附近的函數行為。 https://controls.engin.umich.edu/wiki/index.php/LinearizingODEs ----- 以下進入正題 ---- 若用數學來描述非線性的系統可以寫成 \[ \dot x(t) = f(x) \]其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 稱作系統狀態(state variable) (這邊考慮 $n$ 維空間,故有 $n$ 個系統狀態變數); $\dot x(t)$ 為系統狀態的一階導數; $f$ 為用以描述動態系統的任意函數 在此我們考慮系統狀態為 $n$ 階。意思就是有 $n$ 個不同的系統狀態,記做  $x \in \mathbb{R}^n$ 在介紹 線性化 之前,我們得先介紹 "平衡點(equilibrium point)" : ===================== Definition: Equilibrium point 若 $f(\bar{x})=0$ ,則系統狀態 $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ 被稱作 平衡點(equilibrium point

[整理]金融名詞-債卷價格與收益率

債卷特徵 以下為整理BKM- Essential of Investment 9th 第10章 風險與收益 的一些專有名詞 1.  債卷 (B ond) 一種固定收益證卷(Fixed-income securities),債卷發行者 有 義務  在確定的期限之內 對債卷持有者 支付確定金額的證卷 -一般而言債卷的息票利率(coupon rate)為半年(182 days)支付一次。 -債卷價格可由(有限期數股息折現公式DDM)下式求得 \[ P_0 := \frac{C}{1+r} + \frac{C}{(1+r)^2}+...+\frac{C+Par}{(1+r)^n} \]也就是說:債券價格 $P_0$, 是債券的 預期現金流 $C$ ,經過合適的折現率 $r$ 折現以後的現值。 -Dirty Price = Clean price + Accrued interest -Invoice Price = Flat price + Accrued interest -Accrued interest 2.  債卷面額 ( Face Value, Par Value) 當債卷到期時,債卷發行人 向 債卷持有人 支付債卷的面額來清償該筆債務。 3.  債卷息票利率 or 票面利率( Coupon rate) 年利息支付額 (Coupon payment, C) 等於債卷息票率 $\times$ 債卷面額 \[ C = ParValue \times Coupon \ Rate \] 4.  零息債卷 ( Zero-coupon bond) 不支付利息的債卷且到期時只會支付投資人債卷面額。為了補償此利息上的損失。零息債卷多折價發行。(the selling price is below par value) 5. 美國常見的債卷 U.S. Treasury bills: maturities of 3 or 13, 26 or 52 weeks. U.S. Treasury notes: maturities of 2,3,5,7 and 10 years U.S. Treasury bonds: maturity of 30 years 公司債卷(Corporate Bonds) 可贖回債卷(Ca

[整理] 金融名詞-風險與收益 (Risk and return)

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th 第5章 風險與收益 的一些專有名詞 1. (單一)持有期收益率 (Holding-period return, HPR) 在特定投資期限之內的 收益率 (rate of return, $r$  )。其定義如下 \[ HPR := r = \frac{EV-BV+D}{BV} \]其中 $EV$ 表示持有期間的 期末價格 (Ending Value) ; $BV$ 表示 期初價格 (Beginning Value) ; $D$ 表示期末配發的 現金股息(Dividend) 多個時期收益率的測量方法 算術平均法 ( Arithmetic average ) 幾何平均法 (Geometric average) 資金加權平均法 (Dollar-weighted average) 2. 算術平均法(Arithmetic average (of n periods)) 對各時期的收益率 $r_i$ 取平均得到平均收益率 $m$ \[ m:=\frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} r_i \] 3.  幾何平均法 ( Geometric average (of n periods)) 將各時期的收益率 $r_i$ 取幾何平均(考慮複利的效果)可得幾何平均收益率 $g$ 亦即 $g$ 滿足 \[  (1+g)^n = (1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)...(1+r_n) \] 4.  資金加權平均法 ( Dollar-weighted average of n periods) 此法可計算出內部收益率(Internal Rate of Return, IRR on an investment) 其概念為應用 現金流折現模型計算內部收益率 \[ PV = \frac{C}{1+IRR} +  \frac{C}{(1+IRR)^2} +...+ \frac{C}{(1+IRR)^n} \]其中 $PV$ 為 淨 現值, $C$ 為 淨 現金流, $IRR$ 為內部收益率, $n$為期數 風險與風險溢價 (Risk and Risk premium) 兩種分析收益率的方法: 

[投資理論]權證定價(II) - 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM)

[投資理論]權證定價(II) - 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM)  這次是延續上一次與大家分享 的股息貼現模型(DDM)   [投資理論]權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM)  我們在上一篇文章中有簡介DDM的推導,並於最後提到DDM本身的缺陷 (DDM需要知道任何未來年份的配發股息預期值。但事實上這仍是難以估計),為了克服這個問題,Gordon 教授於1956年 提出外加一個簡化的假設來企圖使DDM可以容易使用: 假設:股息全部由固定增長率來增加 此修正型的股息貼現模型 我們稱作 固定增長股息貼現模型 或者 Gordon 模型 在介紹模型之前,我們得先再回頭看看 Gordon 教授提出的簡化假設到底是甚麼意思? 也就是說什麼叫做  股息全部由固定增長率來增加? 在甚麼樣的情況之下這件事情會成立: 這個問題的答案就是 如果某間公司是 所謂的  固定增長公司 (Constantly Growing Firm),則其具備股息為固定增長率來增長。 固定增長公司假設: 公司無任何負債,也就是說資產-債務表上: 資產 = 股東權益 公司的 股本權益收益率(Return on Equity, ROE) 為固定常數 公司的 再投資率(Plowback ratio, b )為固定常數 公司利潤(Earning) $E_t$、配發股息(Dividend) $D_t$、與股東權益(Equity = Book Value) 全為 固定速率增長 也就是說公司增長率: $g:= b \times (ROE) =  \left ( \frac{E_t}{E_{t-1}}-1 \right )= \left( \frac{D_t}{D_{t-1}}-1 \right) = \left( \frac{BV_{t}}{BV_{t-1}} \right) $ 若上述假設成立,則固定增長速率的公司可以讓我們推論: 首先透過會計或者資產-債務表 (balancing sheet)中,可得到初始 帳面價值(Book Value), $BV_{t-1}$ 接著,由初始帳面價值 $BV_{t-1}$ 可以計算: 公司的年末利潤: $

[整理] 金融名詞-權益證卷的估值

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th 第13章 權益證卷的估值 的一些專有名詞 1. 比較估值法: 此法為透過觀察 “類似”的企業中  其 股票價格 和 各種決定因素 之間的關係,並透過這些關係來推算目標公司的價值。e.g., 比如說要估計 Intel 的股價,可以透過觀察相關的軟體產業 AMD 來大致推估。 2. 帳面價值(Book Value) 根據  資產-負債表(balance sheet)  確定公司普通股的淨值(The net worth of common equity) -Book to Market Ratio, BM ratio: $$\text{BM ratio}:= \frac{BV_0}{P_0}$$ 3. 清算價格(Liqudation value (per share)) 指一家公司出售所有資產,償付所有負債之後,所剩餘(可分配給股東)的現金。 注意比較下列三種價值 - Book Value : accounting value of equity - Market Value : price per share $\times$ outstanding shares - Intrinsic Value = fair value = Net present Value of Cash flow; if Intrinsic Value > Price (mispricing), then we want to BUY! 4. 重置成本(Replacement cost) 指按照當前市場條件,重新取得同樣一項資產所需支付的現金或現金等價物金額。(對一個 設備or資產 如果重買的話會花多少成本) 5. Tobin's q 比率 (Tobin’s q) 由經濟學家James Tobin提出,是一個 市場價值 比上 重置成本  的比率。 $$Tobin's q : = \frac{Market Value}{Replacement Cost}$$-Tobin 認為從長期來看此比率應趨近於1,但實證顯示並無此結果 內在價值與市場價格 6.  內在價值( Intrinsic value)  = Fair value = Net pre

[整理] 金融名詞-巨觀經濟分析與產業分析

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th 第12章 巨觀經濟分析與產業分析 的一些專有名詞 1. 基本面分析(Fundamental analysis) 對於某公司之價值的一種分析。主要透過尋找各種決定因素來分析該公司價值,比如透過公司未來的收入,或者未來配發的股息。 -top-down 的證卷定價方法:由全球或者國內巨觀經濟開始 -bottom-up 的證卷定價方法:  由特定公司股票開始 2. 匯率(Exchange rate) 本國貨幣兌換其他國家貨幣(外幣)的比率。 -匯率波動 $\rightarrow$  由外幣定價的商品價格亦會產生波動 國內巨觀經濟的關鍵影響因素 GDP 失業率 通貨膨脹率 利率 心理因素 政府政策 財務政策 貨幣政策 利率(Interest Rate, I.R.) 與巨觀經濟之間的關係 -注意到 利率為 股價/債卷 的反向指標 -對公司而言:利率上升 $\rightarrow$    公司貸款利息加重  $\rightarrow$     利潤下降  $\rightarrow$     股票價格下降 -對投資人而言: 利率上升  $\rightarrow$    投資人會把錢從股市抽離轉存銀行或其他金融市場 -對巨觀經濟而言: 利率上升  $\rightarrow$     通貨緊縮  $\rightarrow$     股市資金減少  $\rightarrow$     股價下跌  相反的如果利率下降  $\rightarrow$     公司貸款利息減輕  $\rightarrow$     利潤上升  $\rightarrow$     股價上升 3. 國內生產總值 or 國內生產毛額 Gross domestic product, GDP 在一段時間內(通常是一年),其國內 生產商品or提供服務 的市場價值(market value) - typically measure 1 year (annual GDP), sometimes measure quarterly (quarter GDP) - GDP 如果快速成長  =>  該國經濟正在迅速擴張 4. 失業率 (Unempl

[投資理論]權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM)

權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM)  這次要跟大家分享權證定(估)價的基本方法。 不過在分享前,讓我們先處理一個問題。 Q: 我們為何需要估價? 基本想法很簡單:因為如果投資人可以找到某個市場價格偏離"真實"價格的股票。則此時便存在透過 買低賣高 來賺取利潤的機會 (亦即 存在 套利 (arbitrage) 的機會)。 注意到,我們並未定義 "何謂股票的真實價格",一般而言 "真實價格" 指的是某證卷(EX: 股票/債卷...)的 內在價值(Intrinsic Value),而 估價方法(Valuation) 就是要試圖(合理的)找出某證卷的內在價值。 所以現在問題變成 Q: 如何(合理的)找到某證卷的內在價值呢? 這個問題最早是由 John Burr Williams 於1938年提出解決之道,之後由經濟學家 Myron J. Gordon 教授引入一個稱作 股息貼現模型(Dividend Discounted Model)來回答這個問題 股息貼現模型的基本想法如下: Gordon教授認為 股票的價格應該可由 其未來所有配發的股息 將其折現(discounted)求得。 所以以下我們將逐步推導此模型 現在考慮某股票的初始股價 $P_0$ (我們想要估算此初始股價), 接著考慮一年後股價(price)為 $P_1$,一年後配發股息(dividend)為 $D_1$,則我們可以計算一年後收益率(return) $r$為 \[ r=\frac{P_1+D_1}{P_0}-1 \]不過注意到一年後的股價 $P_1$ 與 一年後配發的股息 $D_1$ 事實上是未知數。因為我們無法準確預測一年後股價or股息會是多少。所以在數學上的取巧方法就是對它們取期望值,表示我們"預期"一年後股價與股息是多少 所以上式中 $P_1$ 由  $\mathbb{E}[P_1]$  取代,  $D_1$  由  $\mathbb{E}[D_1]$  取代。 則此時收益率$r$就變成了"預期"收益率 $\mathbb{E}[r]$ 故我們得到 \[ \mathbb{E}[r]=\f

[機率論] 淺談機率公理 與 基本性質

機率公理(Axioms of probability)  是由俄國數學家 Andrey Kolmogorov  (1903-1987) 建立。我們的目的主要是簡介此公理系統 並 進而檢驗由此公理系統所衍生的一些性質。 閱讀前建議具備基礎集合論概念。 讀者可參閱此文: [整理] 基礎集合論的數學語言(1) - Set Operations 再談之間機率公理之前我們先思考兩個 隨機實驗: 從閉區間 $[0,1]$ 之中 任選一個數字 做無限次的丟銅板實驗 上述兩個實驗,我們每做一次紀錄其 實驗結果 $\omega$,並將每次的輸出結果收集起來,此結果形成一個 樣本空間(sample space) $\Omega$。 對 實驗1 而言,樣本空間即為 $ \Omega :=[0,1]$ ,其 實驗結果記做 $\omega$ 對於實驗2,我們可以定義樣本空間為 \[ \Omega_\infty := \{ \text{the set of infinite sequences of Heads' and Tail's}\} \] 樣本輸出結果 $\omega = \omega_1 \omega_2 ...$ 其中 $\omega_n$ 為第 $n$ 次丟銅版的結果。 那麼如何對上述樣本空間中發生的 "事件" 定義 "機率" 呢? 我們需要 機率空間(Probability space) 的概念: ===================== Definition: Probability Space 一個 機率空間 (Probability space) 為一個三元素組成的集合記做 $(\Omega, \cal{F}, P)$。其中 $\Omega$ 定義為 實驗結果所形成的 非空集合(又稱為樣本空間),$\cal F$ 為 事件(or 多個事件) 形成的集合,而 $P$ 為一個函數 $P : \cal{F} \rightarrow [0,1]$ 用作指定對應事件的機率。 ==================== Comment: 上述定義提及 $\cal{F}$ 又稱 $\sigma$-algebra or $\sigma$-field 滿足下列條件 (i)

[整理] 金融名詞-共同基金與其他投資公司

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th 第4章 共同基金與其他投資公司 ( Mutual Funds and investment companies)  的一些專有名詞 投資公司 1. 投資公司 (investment companies) 將個人投資者的資金投資於眾多股票和其他資產的金融中介機構 (financial intermediaries)。 -基本想法就是 集中資產 實現多樣化。 2. 淨資產價值 (Net Asset Value (NAV)) 資產市值 減去 負債 除以 發行在外的股份數 \[ NAV = \frac{Market \ Value \ of \ assets - liabilities}{Outstanding \ shares} \] 投資公司的類型 單位投資信託 (無管理) 有管理的投資公司 開放式基金: 允許投資人隨時以NAV價格 購買或贖回基金股份 封閉式基金: 交易價格不同於NAV,購買或贖回股份的行為在封閉基金的投資人之間。無法直接對基金公司進行購買或贖回 3. 單位投資信託 (Unit investment trust)  在基金存續期間之內,投資於 固定  的資產組合,其來源為眾多投資者的資金之集合 -無額外管理 $\Rightarrow$ 管理費用較為低廉 -固定投資組合 4. 開放式基金(open-end fund) 允許隨時以  NAV  購買或贖回 基金股份的一種基金 - 股票可贖回 - 基金股份價格永遠不低於NAV 4. 封閉式基金 (closed-end fund) 交易價格不同於 NAV 的基金,股票可以不按照NAV價格贖回 - 交易價格不同於NAV,在開放市場中交易 5. 銷售費用(load) 傭金的一種,用以購買/銷售共同基金所需支付給賣方的銷售費用 -主要有兩種:一種為 前端費用(front-end loads) 一種為 後端費用(back-end loads) 其他投資機構 混合基金(Commingled funds) 不動產投資信託(Real Estate Investment Trusts, REITs) 避險基金(Hedge fu