這次要跟大家介紹的是 線性化 (Linearization) 的概念,讀者建議須先具備基本 Taylor Series 概念,如果不熟悉的讀者可先參閱 [微積分] 泰勒展開式 與 泰勒級數 。 為何要做線性化? 其實線性化的動機很簡單,主要是因為一般在分析動態系統的時候,大部分系統行為都是呈現非線性(EX: 電路系統(二極體 I/V curve),倒單擺、撓性機構、機器人、生物細胞、金融模型...),但這些非線性行為會有一個大的困難,就是難以直接求解其動態行為。且發展成熟的線性系統理論沒有辦法(有效的)應用在上面,但如果能夠透過一些假設/機制,我們可以把原本非線性的系統轉成線性系統,如此一來原本沒辦法使用的線性系統理論便可以派上用場!! 如何做線性化? 至於實際如何做到對任意 非線性函數 (e.g., $\sin, \cos, \exp, x^n$, ...)線性化呢? 簡單來說,就是採用切線 (微分) 的概念,如果我們對關心的某一點對該點取導數,則我們可以得到一條對該點的切線,此切線可以在某種程度上用來近似 該點附近的函數行為。 https://controls.engin.umich.edu/wiki/index.php/LinearizingODEs ----- 以下進入正題 ---- 若用數學來描述非線性的系統可以寫成 \[ \dot x(t) = f(x) \]其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 稱作系統狀態(state variable) (這邊考慮 $n$ 維空間,故有 $n$ 個系統狀態變數); $\dot x(t)$ 為系統狀態的一階導數; $f$ 為用以描述動態系統的任意函數 在此我們考慮系統狀態為 $n$ 階。意思就是有 $n$ 個不同的系統狀態,記做 $x \in \mathbb{R}^n$ 在介紹 線性化 之前,我們得先介紹 "平衡點(equilibrium point)" : ===================== Definition: Equilibrium point 若 $f(\bar{x})=0$ ,則系統狀態 $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ 被稱作 平衡點(equilibrium point
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya