這次要介紹 有限維度的內積空間 (Inner Product Space),簡而言之就是有限維度向量空間 $(V, \oplus, \odot)$ 上額外定義內積運算,則我們稱此類空間為 內積空間。 Comments: 1. 有限維度內積空間稱為 歐式空間 (Euclidean Space) 2. 若為無窮維度的內積空間我們稱為 Pre-Hilbert Space ,若此無窮維度內積空間為完備空間,則稱之為 Hilbert Space 3. 為何好好的向量空間不用還要多此一舉另外又定一個 內積空間?主因是向量空間本身只定義了加法 與純量乘法的運算,如果我們想討論在向量空間中某元素的大小 或者 某兩元素之間的關係則無從得知。但是如果我們引入 內積運算 到向量空間中,則可以在原本的向量空間上將 代數 與 幾何 的概念做直接的連結,也就是我們可以透過內積引入 其上的兩元素是否 垂直 (正交) 的概念,亦可針對某元素來探討其 長度與大小 概念 。 4. 讀者可回憶 高中所學習過的 點積 (dot product),此文所探討的內積 即為 點積 的推廣。 首先定義內積 ================== Definition: Inner Product on Vector Space 令 $V$ 為實數向量空間,則 Inner Product on $V$ 為函數 $(\cdot, \cdot): V\times V \to \mathbb{R}$ 滿足下列條件 (a) $({\bf u}, {\bf u}) \ge 0$:且 $({\bf u}, {\bf u}) = 0$ 若且唯若 ${\bf u} = {\bf 0}_V$ (b) $({\bf u}, {\bf v}) = ({\bf v}, {\bf u}), \; \forall {\bf u,v} \in V$ (c) $({\bf u} + {\bf v}, {\bf w}) = ({\bf u}, {\bf w}) + ({\bf u}, {\bf v}), \; \forall {\bf u,v,w} \in V$ (d) $(c {\bf u}, {\bf v}) = c({\bf u}, {\bf v}),\; \forall {\bf u,v} \in V,