[衍生商品] 常見的選擇權交易策略(1) - Asymmetric Butterfly Spreads

這次要介紹的是如何透過使用Call option 建構非對稱蝶式交易策略 ( Asymmetric Butterfly Spread)。
現在假設三個不同的執行價格滿足 $0<K_1 < K_2 < K_3$, 那麼 asymmetric butterfly spread 可以透過購買 $x$ 個 執行價格為 $K_1$ 的 call option ，與賣出 $y$ 個執行價格為 $K_2$ 的 call options，接著再購入 $y-x$ 個執行價格為 $K_3$ 的 call options at $K_3$ 建構而成

現在如果我們考慮透過上述方法建構而得的 asymmetric Butterfly Spread 其最大的 payoff 為 $h$ ，則我們可以繪製其對應的 payoff 如下圖所示

現在利用簡單的幾何關係 ( $x$ 與 $x-y$ 分別上圖的斜率)
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{h - 0}}{{{K_2} - {K_1}}}\\
x - y = \frac{{0 - h}}{{{K_3} - {K_2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{{K_3} - {K_2}}}{{{K_3} - {K_1}}}y
\] 亦即，Asymmetric Butterfly Spread 必須滿足上述條件，且我們即可使用 前述的方法建構 我們的Asymmetric Butterfly Spread 交易策略：

1. 購買 $x$ 個 執行價格為 $K_1$ call option ，
2. 賣出 $y$ 個執行價格為 $K_2$ 的 call options，
3. 再購入 $y-x$ 個執行價格為 $K_3$的 call options at $K_3$

Comments:
上述 $x, y$ 須為整數。


另外我們來看個 Claim：
===========================================
Claim: (Equivalent Cost of Symmetric Butterfly Spread )

令 執行價格為 $K_1 < K_2 < K_3$ 且 ${K_2} = \frac{{{K_3} + {K_1}}}{2} $，則透過 Call option 建構的 Butterfly Spread 所需的花費等同於 Put option 所建構的 Butterfly Spread。
==========================================
Proof
考慮透過 Call option 來建構 Butterfly Spread：
則我們知道需要 Long one call at $K_1$, Short two call at $K_2$, Long one call at $K_3$

現在令
$C_1$ 為 at $K_1$ call option price，$C_2$ 為 at $K_2$ call option price，$C_3$ 為 at $K_3$ call option price；

$P_1$ 為 at $K_1$ Put option price，$P_2$ 為 at $K_2$ Put option price，$P_3$ 為 at $K_3$ Put option price；

故透過 Call option 建構 Butterfly spread 所需的花費為
\[
- C_1^{} + 2C_2^{} - C_3^{}
\] 我們要證明其花費等同於
\[
- P_1^{} + 2P_2^{} - P_3^{}
\]
現在利用 Put-Call Parity  $C - P = {S_0}{e^{ - qT}} - {K}{e^{ - rT}}$

我們可知對應 $C_1, C_2, C_3$ 的 Put Call parity為
\[\left\{ \begin{array}{l}
C_1^{} - {P_1} = {S_0}{e^{ - qT}} - {K_1}{e^{ - rT}}\\
C_2^{} - {P_2} = {S_0}{e^{ - qT}} - {K_2}{e^{ - rT}}\\
C_3^{} - {P_3} = {S_0}{e^{ - qT}} - {K_3}{e^{ - rT}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
C_1^{} = {P_1} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_1}{e^{ - rT}}\\
C_2^{} = {P_2} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_2}{e^{ - rT}}\\
C_3^{} = {P_3} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_3}{e^{ - rT}}
\end{array} \right.
\] 計算
\[
\small{\begin{array}{l}
 \Rightarrow  - C_1^{} + 2C_2^{} - C_3^{} =  - \left( {{P_1} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_1}{e^{ - rT}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} + 2\left( {{P_2} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_2}{e^{ - rT}}} \right) - \left( {{P_3} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_3}{e^{ - rT}}} \right)\\
 \Rightarrow  - C_1^{} + 2C_2^{} - C_3^{} =  - {P_1} + 2{P_2} - {P_3} + {K_1}{e^{ - rT}} - 2{K_2}{e^{ - rT}} + {K_3}{e^{ - rT}}
\end{array}
}\]現在利用 Claim 的假設 ${K_2} = \frac{{{K_3} + {K_1}}}{2}$ 將其代入上式可得
\[ \Rightarrow  - C_1^{} + 2C_2^{} - C_3^{} =  - {P_1} + 2{P_2} - {P_3}
\] 即為所求 $\square$

[衍生商品] 淺談 Binomial Pricing Model (1) -Two-steps tree

現在我們可以將 One step Tree拓展到 Two steps 的情況。
在前篇文章我們有提過，事實上如果把二項樹的step拓展到 無窮大，則Binomial pricing會收斂成為 Black-Scholes formula。

我們手上現在有兩種方法 (此兩種方法等價)來對選擇權進行定價：
1. Binomial Pricing：
2. Risk-Neutral Pricing：風險中性機率 $P$ 再任意二項樹的步都是定值 (因為投資人對風險漠不關心，故股票上漲或下跌對投資人來說沒有影響。故 $P$ 值不變).

先給個例子看看兩步的二項樹是怎麼回事：

Example
現在考慮一個 兩步的二項樹：

今日股價 $S_0 =20$，下圖二項樹的每一步中股價上漲 或者下跌 $10 \%$，假設二項樹中每一步長度$h$為3個月 $h=3/12$ (亦即兩步為 6個月 $T=6/12$)，無風險利率 $r =12 \%$ p. a. (連續複利)，考慮 執行價格為 $K=21$ 的 歐式 看漲選擇權 ( European Call option) 。

我們這邊使用 風險中性定價法求解 $f$：關於風險中性定價有興趣的讀者請參考
[衍生商品] 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing)

步驟如下：

1. 首先求解 (二項樹中 任意一步的) 風險中性機率 $P$：
其中 $r =0.12, h=3/12, u=1.1, d=0.9$，可解得
 \[
P = \frac{{{e^{r h}} - d}}{{u - d}} =0.6523
\]
2. 接著我們可以計算各節點的 看漲選擇權 價格：
首先計算 到期時 at expiration $T$ (6個月) 的 看漲選擇權 價格
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_{uu}} = \max \{ {S_T} - K,0\}  = \max \{ 24.2 - 21,0\}  = 3.2\\
{f_{ud}} = \max \{ {S_T} - K,0\}  = \max \{ 19.8 - 21,0\}  = 0\\
{f_{dd}} = \max \{ {S_T} - K,0\}  = \max \{ 16.2 - 21,0\}  = 0
\end{array} \right.
\]接著再計算中間節點的 看漲選擇權價格 (3個月 $h=3/12$)
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_u} = \left( {P{f_{uu}} + \left( {1 - P} \right){f_{du}}} \right){e^{ - rh}} = \left( {0.6523\left( {3.2} \right) + 0} \right){e^{ - 12\% \left( {3/12} \right)}} = 2.0257\\
{f_d} = \left( {P{f_{du}} + \left( {1 - P} \right){f_{dd}}} \right){e^{ - rh}} = \left( {0 + 0} \right){e^{ - 12\% \left( {3/12} \right)}} = 0
\end{array} \right.
\]最後在計算 $f$
\[f = \left( {P{f_u} + \left( {1 - P} \right){f_d}} \right){e^{ - rh}} = \left( {0.6523\left( {2.0257} \right) + 0} \right){e^{ - 12\% \left( {3/12} \right)}} = 1.2823
\] $\square$

============
那麼現在產生一個簡單的問題，如果是上述例子變成 美式選擇權(American option) 我們可以進行估價嗎?

答案是肯定的。

那麼該怎麼做呢?
Idea: 美式選擇權與歐式選擇權最大差別在於美式選擇權可以在到期時間之前都可以被執行。故我們首先計算歐式選擇權的價格，再逐點討論是否要提早執行該選擇權。

現在回頭再看看剛剛我們解完的 歐式看漲選擇權 的例子：

現在我們逐點討論是否要提早執行該選擇權。

NOTE:
在解題之前我們先注意到一個common sense：
美式 看漲選擇權 在股票未配發股息 的情況之下，永遠都不應該提早執行 (WHY!?)，

因為如果立刻執行我們會得到 $S - K$，但是如果我們不選擇立刻執行而是把美式選擇權賣出，由於美式選擇權可以在到期之前隨時執行，故其價格會比歐式選擇權 要來的高，則我們會得到選擇權價格有如下關係：
\[
C_{american} \geq C_{european}
\]又由歐式看漲選擇權我們知道選擇權的價格具有下界 (內部價值 + 時間價值 $ max\{ S-K, 0\}$)：故我們知道歐式選擇權會有如下關係
 \[ C_{european} \geq S-K
\]，故合併上式我們得到
\[
C_{american} \geq C_{european} \geq S-K
\]這說明了如果立刻執行只有得到下界 $S-K$，但我們如果賣出 美式看漲選擇權則可以得到 $C_{american}$，這說明了 看漲選擇權在未配發股息的情況永遠不該提早執行。以下分析可以作為一個驗證：


現在我們開始逐點討論，對上述例子而言，是否要提早執行 美式選擇權

注意到如果我們考慮 到期時 at expiration $T$，則我們的美式選擇權 $f_{uu}, f_{du}, f_{dd}$ 三點與歐式選擇權價格相同 (因為已經到期!)。

故我們只需討論 $f_u, f_d$ 以及 $f$ 是否需要提早執行。

首先檢驗 $f_u$ (亦即股票從 $20$ 上漲到 $22$的情況)，歐式選擇權計算的結果是 $f_u = 2.0257$，
現在如果是美式選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{S_{h=3month} - K, 0 \} = \max\{22 - 21, 0 \} =1$，可以發現 $f_u =2.0275 >1 $ 故不執行。

接著檢驗 $f_d$ (亦即股票從 $20$ 下跌到 $18$的情況)，歐式選擇權計算的結果是 $f_u = 0$，
現在如果是美式選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{S_{h=3month} - K \} = \max\{18 - 21, 0 \} =0$，可以發現 $f_u =0 = 0 $ 故不執行。

最後再檢驗 $f$ (亦即現在 )，歐式選擇權計算的結果是 $f = 1.2823$，
現在如果是美式選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{S_{h=0} - K \} = \max\{20 - 21, 0 \} =0$，可以發現 $f_u =0 = 0 $ 故不執行。

=====================

現在我們來看個 美式看跌選擇權的例子

Example
同上例，考慮一個 兩步的二項樹：

今日股價 $S_0 =20$，下圖二項樹的每一步中股價上漲 或者下跌 $10 \%$，假設二項樹中每一步長度$h$為3個月 $h=3/12$ (亦即兩步為 6個月 $T=6/12$)，無風險利率 $r =12 \%$ p. a. (連續複利)，考慮 執行價格為 $K=21$ 的 美式 看跌選擇權 ( American Put option) 。

我們這邊使用 風險中性定價法求解 $f$：同樣的第一步先求解 歐式看跌選擇權在做逐步討論

步驟如下：

1. 首先求解 (二項樹中 任意一步的) 風險中性機率 $P$：
其中 $r =0.12, h=3/12, u=1.1, d=0.9$，可解得
 \[
P = \frac{{{e^{r h}} - d}}{{u - d}} =0.6523
\]
2. 接著我們可以計算各節點的 看跌選擇權 價格：
首先計算 到期時 at expiration $T$ (6個月) 的 看跌選擇權 價格
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_{uu}} = \max \{  K - S_T,0\}  = \max \{ 21-24.2 ,0\}  = 0\\
{f_{ud}} = \max \{  K - S_,0\}  = \max \{21 - 19.8,0\}  = 1.2\\
{f_{dd}} = \max \{  K - S_,0\}  = \max \{ 21-16.2,0\}  = 4.8
\end{array} \right.
\]接著再計算中間節點的 看跌選擇權價格 (3個月 $h=3/12$)
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_u} = \left( {P{f_{uu}} + \left( {1 - P} \right){f_{du}}} \right){e^{ - rh}} = 0.4049\\
{f_d} = \left( {P{f_{du}} + \left( {1 - P} \right){f_{dd}}} \right){e^{ - rh}} = 2.3793
\end{array} \right.
\]最後在計算 $f$
\[f = \left( {P{f_u} + \left( {1 - P} \right){f_d}} \right){e^{ - rh}}  = 1.0591 \ \ \ \ \square
\]
故我們可得到如下 兩步的 二項樹圖：

現在我們逐點討論美式選擇權是否要提早執行。

同樣地，注意到如果我們考慮 到期時 at expiration $T$，則我們的美式 看跌選擇權 $f_{uu}, f_{du}, f_{dd}$ 三點與歐式 看跌選擇權價格相同 (因為已經到期!)。

故我們只需討論 $f_u, f_d$ 以及 $f$ 是否需要提早執行。

首先檢驗 $f_u$ (亦即股票從 $20$ 上漲到 $22$的情況是否需要提早執行)，歐式 看跌 選擇權計算的結果是 $f_u = 0.4049$，
現在如果是美式 看跌選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{K-S_{h=3month} , 0 \} = \max\{21-22, 0 \} = 0$，(out of money!) ，故不執行。

接著檢驗 $f_d$ (亦即股票從 $20$ 下跌到 $18$的情況是否需要提早執行)，歐式 看跌選擇權計算的結果是 $f_u = 0$，
現在如果是美式看跌選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{ K-S_{h=3month} \} = \max\{21-18, 0 \} =3$，可以發現 $f_u =2.3793 < 3 $ 故此時提早執行有利投資人!!。故對美式 看跌選擇權而言， $f_d =2.3793 $需被 $f_{d_{american}} = 3$ 替換!

且因為 $f_d$ 已經被 $f_{d_{american}}$取代，故我們需要重新計算 $f$
\[
f = f_{american} = \left( {P{f_u} + \left( {1 - P} \right){f_{d_{american}}}} \right){e^{ - rh}}=1.2686
\]
最後再檢驗我們剛計算出來的 新 $f$ (亦即現在 是否需要提早執行 )，歐式 看跌選擇權計算的結果是 $f = 1.2686$，
現在如果是美式 看跌選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{ K - S_{h=0} \} = \max\{21-20, 0 \} =1$，可以發現 $f_u =1.2686 >1 $ 故不執行。

故美式 看跌選擇權 的價格 $f_{american} = 1.2685$
歐式 看跌選擇權最 的價格 $f = 1.0591$


ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.

[衍生商品] 淺談 Binomial Pricing Model (0) - One-step tree case

一般而言 選擇權(Option)的定價模型 大致上有兩種方法：
一種為 二項樹定價法 (Binomial Pricing)  另一種為 Black-Scholes Model (for continuous time)。

NOTE:
1. 事實上 Binomial pricing 取極限會得到Black-Scholes Model)
2. 二項樹定價法有另一個等價的方法求解較為簡便，叫做risk-netural pricng method，關於 risk-netural pricing model 有興趣的讀者可參閱BLOG相關文章: [衍生商品] 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing): 本文在此不討論此法。

這次要介紹的是 Binomial Pricing Method：來幫助我們找出合理的選擇權價格。
基本想法如下：
考慮市場為無套利機會(No-Arbitrage opportunity )的市場，則我們可以建構一組能產生與 選擇權相同的 payoff 的投資組合 。因為既然 payoff 相同則其價值必須相同( 由無套利機會假設兩者等價)。故此我們便可計算選擇權的(合理)價格。

以下為一個簡單的例子說明這個想法

Example
考慮 現時股價 $S_0 = \$ 20$，且已知三個月後股價要麼為 $S_u = \$ 22$ 或者 $ S_d = \$ 18$ (只有此兩種可能)，另外考慮 無風險利率為 $r=12\%$ p.a. (採連續複利)，

現在我們想估計
3個月後到期 ($T=3/12$)、 執行價格(Strike price) $K= \$21$ 的 看漲選擇權 (Call option) 價格應該是多少?

則我們可建構如下二項樹 (點圖放大)：

上圖可以發現如果三個月後的股價為 $22$，看漲選擇權的payoff為 $\max\{S_T - K, 0 \} = \max\{22-21,0 \}=1 $；
反之如果三個月後的股價為 $18$ ，則看漲選擇權對應的payoff為 $\max\{S_T - K, 0 \} = \max\{18-21,0 \}=0 $

那麼現在想要回推 "今日" 看漲選擇權的合理價格應該是多少?

由之前的想法，我們可以建立一個投資組合來 "模仿" or "複製" 看漲選擇權 的收益行為：
故考慮如下投資組合
----------------------------
假設在"今日" 我們
買入 " $ +\Delta$ 股"  股票
投資 " $ +B$ 元 " 債卷 (此債卷提供投資者 無風險利率 $r$)
----------------------------

則三個月後此投資組合的市值，由無套利機會假設可知，必須與選擇權產生的收益相同。故我們得到下圖 (點圖放大)

故我們得到
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{22\Delta  + B{e^{12\%  \cdot \left( {3/12} \right)}} = 1}\\
{18\Delta  + B{e^{12\%  \cdot \left( {3/12} \right)}} = 0}
\end{array}} \right.\]上式可求解 $\Delta$ 與 $B$：
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = 0.25\\
B =  - 4.3670
\end{array} \right.
\] 注意到 $B$ 為負值，亦即我們原本假設為 要投資 $B$ 元 到無風險利率的債卷，但事實上是要 "借入" $4.367$ 元。

那麼有了 $\Delta$ 與 $B$ 便可以回答到底 今日 看漲選擇權的合理價格是多少？ 我們說此價格必須等同於我們所建構的投資組合：亦即買入 0.25股 股價為 $20$ 的股票 再借入 $4.367$元，亦即
\[
20 \Delta + B = 20 \cdot (0.25) - 4.367 = 0.633
\] 此即為我們 看漲選擇權的 (今日購入) 合理價格。 $\square$

Comment:
1. 上述唯一的假設是市場為 無套利機會 。注意到我們並不須知道股票上漲的機率是多少。

2. 如果 賣出一份看漲選擇權 (Short a call) + 購入 0.25股的股票 (Long 0.25 $\Delta$ share) 所建構而成的投資組合會發生甚麼情況?

如果我們在今日用 $0.633$ 賣出看漲選擇權，

現在考慮當三個月後股票價格上漲到 $22$ 時：
看漲選擇權會被執行 (因為 in the money, $22 > 21 = K$)，故要付1元出去，但我們因為在今日買入 $0.25$ 股 股票，故三個月後此 Short a call + Long $0.25 \Delta$  share 的組合價值為$0.25 \cdot 22 -1 = 4.5$

如果考慮當三個月後股票價格下跌到 $18$時：
則看漲選擇權 不會被執行 (因為 out of money, $18 < K=21$)，故我們三個月後 Short a call + Long $0.25 \Delta$  share 的組合價值為
$0.25 \cdot 18 +0 = 4.5$

會發現不論股票上漲或下跌，我們的組合價值都固定為 $4.5$。故此組合為無風險組合(riskless portfolio)。

=============

Generalization of the example

現在我們可以將上述的例子推廣到一般的情況：

現在考慮 當前股價 $S_0$ ，且 當前 選擇權 (可為call option / put option)價格為 $f$  (我們要求解此 $f=?$)， 假定選擇權的到期時間為 $T$ ，在期限內股票價格會由 $S_0$ 上漲到 $S_0 \cdot u$ 或者由 $S_0$ 下降到 $S_0 \cdot d$，其中 $u >1, d<1$；且對應的上漲選擇權價格為 $f_u$，下跌選擇權價格為 $f_d$，則我們可以繪製如下二項樹圖：

那麼我們該如何求解 $f$ ??

由前述例子可知我們要建構一個投資組合使其到期的payoff 等同於 對應的選擇權價格 ($\Rightarrow$ 今日 payoff 也必須相等)。故如前例所示，我們建立投資組合如下：
----------------------------
假設在"今日" 我們
買入 " $ +\Delta$ 股"  股票
投資 " $ +B$ 元 " 債卷 (此債卷提供投資者 無風險利率 $r$)
----------------------------

則我們可寫出
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S_0}u\Delta  + B{e^{rT}} = {f_u}}\\
{{S_0}d\Delta  + B{e^{rT}} = {f_d}}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta  = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}\left( {u - d} \right)}}}\\
{B = {e^{ - rT}}\left( {\frac{{u{f_d} - d{f_u}}}{{u - d}}} \right)}
\end{array}} \right.
\]故今日合理的選擇權價格
\[\begin{array}{l}
f = \Delta {S_0} + B\\
 \Rightarrow f = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}\left( {u - d} \right)}}{S_0} + {e^{ - rT}}\left( {\frac{{u{f_d} - d{f_u}}}{{u - d}}} \right)
\end{array}\]

Comment:
1.  ${\Delta  = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}u - {S_0}d}}}$ 代表 選擇權 與 股票價格 之間的變化率 (斜率)，
對於 Call option 而言，$0 \leq \Delta_{call} \leq 1$；(當股價上升的時候投資人獲利。)
對於 Put Option而言， $-1 \leq \Delta_{put} \leq 0$。(當股價下跌的時候投資人獲利。)
另外若考慮為連續時間的情況 $\Delta := \frac{{\partial C}}{{\partial S}}$

2. 觀察 前述選擇權定價的式子
\[{f = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}\left( {u - d} \right)}}{S_0} + {e^{ - rT}}\left( {\frac{{u{f_d} - d{f_u}}}{{u - d}}} \right)}
\] 我們可發現 定價選擇權需要的資訊為
1. 現時股價 $S_0$
2. 執行價格 $K$ (計算 $f_u, f_d$)
3. 無風險利率 $r$
4. 到期時間 $T$
5. $u$ & $d$ <~ 上升因子/與下降因子乘數；此兩者會與 volatility 有關。會在之後再行介紹。


延伸閱讀
[衍生商品] 淺談 Binomial Pricing Model (1) -Two-steps tree

ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.

[衍生商品] 淺談選擇權 (2) - Put-Call Parity

這次要介紹的是選擇權訂價一個重要的關係：買權賣權等價關係 (Put-Call Parity)：

想法： 利用 Option 建構一個 合成的 Forward contract ，再來比較其 payoff

現在考慮 當前股價為 $S_0$ 的 無配發股息的股票 (Non-dividend paying stock)，且 $C, P$ 為對應的 Call option 與 Put option 的價格；現在我們透過 Buying a call + Short a put 可以得到 Synthetic forward 如下圖 Payoff (點圖放大)

注意到上圖右方合成之後的 Payoff 圖等價 Long a forward ，故我們稱此利用 Option 所合成出來的 Forward 為 Synthetic forward。

另外，如果我們觀察對於 Synthetic Forward 而言，我們是透過 Buying a call + short a put 達成，故其當前的 Payoff  (Payoff Today) 可寫為 $-C + P$ (買一份 call $ = -C$，賣出一份 put $=+p$)；且 Payoff at Expriation date 為 $S_T - K$

另外對於標準 Forward 而言，其 Payoff Today $=0$ (由於 Forward 並不需支付premium，故 Payoff today =0)；而 Pay off at Expriation date 為 $S_T -F_0$

因為我們的 Synthetic Forward 是用來 mimic 標準的 Forward ，故此兩者之 Payoff 必須等價，我們將所有的 payoff 都折現到 Today 來比較：

Payoff Today :
\[
-C + P + PV(S_T - K) = 0 + PV(S_T - F_0) \\
\Rightarrow C-P =  PV( F_0 - K)
\] 又由於對 Forward 而言 $PV(F_0) := S_0$，故我們得到
\[
C-P =  S_0 - PV( K)
\] 上式稱為 歐式選擇權 無支付股息 的 Put-Call Parity。

注意到如果上式出現
\[
C-P \neq  S_0 - PV( K)
\] 則此時出現套利機會，因為 Put-Call parity 不再成立。亦即如果出現
$C > P + S_0 - PV( K) $ 則 表示 當前 的 Call option 價格過高，可以 Short call + buy $(P+S_0 -PV(K))$ 達成套利。

或者 $C < P + S_0 - PV( K)$ 則表示當前的 call option 價格過低，可以 long call + sell $(P+S_0 -PV(K))$ 達成套利。


現在我們再問個問題，如果現在考慮 Divdend paying Stocks ，Put-Call Parity 該如何修正呢?
首先寫下一般 Put-Call Parity
\[
C-P =  PV( F_0 - K)
\] 回憶對於有 Dividend paying 的 Forward ，我們有 $PV(F_0) := S_0 - PV(D)$，故我們將上式改寫
\[
C-P =  S_0  - PV(D) -PV( K)
\] 上式即稱為歐式選擇權 有支付股息 的 Put-Call Parity

如果考慮股息為連續複利 $q$，則我們
\[
C-P =  S_0 e^{-qT} -PV( K)
\]

現在我們看個例子：

Example: Put Call Parity
考慮一執行價格 $\$ 30$ 且六個月後到期的 股票歐式 Call option 其價格為 $ \$ 2$，其標的股價為 $\$ 29$，且股息為 $\$ 0.5$ 預計於二個月與五個月的時候發放，無風險利率為 $10 \%$連續複利計，試求相同規格的 Put option 合理價格 (無套利機會價格) 應為多少?

Solution
改寫已知資訊如下：
\[
K=30, C=2, S_0=29, D=0.5, r=0.1, T=6/12
\]由 Put-Call parity 可知
\[\begin{array}{l}
C - P = {S_0} - PV\left( D \right) - K{e^{ - rT}}\\
 \Rightarrow 2 - P = 29 - \left( {0.5{e^{ - 0.1 \times \frac{2}{{12}}}} + 0.5{e^{ - 0.1 \times \frac{5}{{12}}}}} \right) - 30{e^{ - 0.1 \times \frac{6}{{12}}}}\\
 \Rightarrow P = 2.51
\end{array}\]


Example: No-Arbitrage Opportunity via Put-Call Parity
考慮一執行價格為 $50$ 且到期時間為 12個月 的股票歐式 Call option ；且其價格為 $\$ 6$。同樣規格的的 股票歐式 Put Option 價格為 $\$ 5$；另外市場當前股價為 $54$，配發股息預計於六個月後配發 $4$元，連續複利無風險年利率為 $5 \%$。

試問是否存在 套利機會?

Solution
先求無套利機會價格，由 Put-Call parity
\[\begin{array}{l}
C - P = {S_0} - PV(D) - PV(K)\\
 \Rightarrow C = P + {S_0} - PV(D) - PV(K)\\
 \Rightarrow C = 5 + 54 - 4{e^{ - 0.05 \times \frac{6}{{12}}}} - 50{e^{ - 0.05 \times \frac{{12}}{{12}}}}\\
 \Rightarrow C = 7.5373
\end{array}
\]注意到由 Put-call parity 得到的結果顯示 $C = 7.5373$ 但當前的 Call price 為 $6$ 故存在套利機會：由於當前 Call price 低於 7.5373，故我們可 Long Call option 接著賣出 其餘組合如下表

\[\small{\begin{array}{l}
6 < C = P + {S_0} - PV(D) - PV(K)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Exp.\left( {{S_T} \le K} \right)}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Exp.\left( {{S_T} > K} \right)}\\
\hline
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Call}&{ - C}&0&0&{{S_T} - K}\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Put}&{ + P}&0&{ - \left( {K - {S_T}} \right)}&0\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ + {S_0}}&{ - D}&{ - {S_T}}&{ - {S_T}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ + PV\left( D \right)}&{ + D}&0&0\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ K}&{ - PV\left( K \right)}&0&K&K\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&{}&0&0&0
\end{array}\\
\\
 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Exp.\left( {{S_T} \le 50} \right)}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Exp.\left( {{S_T} > 50} \right)}\\
\hline
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Call}&{ - 6}&0&0&{{S_T} - 50}\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Put}&{ + 5}&0&{ - \left( {50 - {S_T}} \right)}&0\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ + {54}}&{ - 4}&{ - {S_T}}&{ - {S_T}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ - 4{e^{ - 0.05 \times \frac{6}{{12}}}}}&{ + 4}&0&0\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ K}&{ - 50{e^{ - 0.05 \times \frac{{12}}{{12}}}}}&0&{50}&{50}\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&{1.5373}&0&0&0
\end{array}
\end{array}}\]

[衍生商品] 淺談選擇權 (1) - Some Properties of Option

延續上篇 [衍生商品] 淺談選擇權 (0) - Moneyness and profit/payoff of Option ，我們目標是要找出合理的定價。但目前對上述並無頭緒，只知道 選擇權價值 = 內在價值與時間價值。
\[
\text{Option Value $=$ Intrinsic Value $+$ Time Value}
\] 然後 由報價中，我們可以發現有一些參數似乎會影響我們對選擇權的定價。

現在我們總結需要的參數：

$K$: 執行價格 (Strike Price)

$S_0$: 當前標的資產價格 (這邊我們以當前股價表示) (Current Stock Price)
$\sigma$: 股價波動度 (Volatility)

$T$ : 到期時間 (Expiration time)
$r$ : 無風險利率 (risk-free interest rate)
$D$: 股息 (Dividend)
Style: 美式選擇權 或者 歐式選擇權。

接著我們討論當上述參數變動的時候，會對選擇權價格造成甚麼影響?

Varying Strike Price $K$：

現在考慮兩個不同的執行價格 $K_1, K_2$ 且 $K_1 < K_2$，則我們知道對於 Call option 而言，越低的執行價格代表越此 Call option 獲利機會相對較大，故Call option 售價在較低的 執行價格 應越高

\[ C(K_1) > C(K_2) \] 對 Put Option 而言，情況則相反

\[ P(K_1) < P(K_2) \] 那麼現在如果我們考慮兩選擇權除了 Strike price 以外其餘參數皆相同，則我們有如下重要結果：

\[\left\{ \begin{array}{l} {K_2} - {K_1} \ge C({K_1}) - C({K_2}) \ge 0\\ {K_2} - {K_1} \ge P({K_2}) - P({K_1}) \ge 0 \end{array} \right.\]

Varying  Expiration Time $T$：

1. 對於美式選擇權而言，越長的 $T$ 表示有越多機會可以 執行，故 $T$ 增大 $\Rightarrow$ 選擇權價格上升
2. 如果對歐式選擇權，到期時間的效果無法看出確切關係 (越長的 $T$ 並無法保證選擇權價格上升/下降)

選擇權價格的上/下界：
對於 Call Option 而言，其 Call option price 的上下界如下圖所示：，

對於 Put Option 而言，其 Put option price 的上下界如下圖所示：

現在我們看個例子：

Example: (Lower Bound of call option)
現在考慮一個 6個月到期且不支付股息的 Call option，當前股價為 $\$ 80$，執行價格為 $\$75$，且無風險年利率為 $10 \%$ 以連續複利計。試求其選擇權的下界應為何?

Solution
由於此為 Call option，我們知道其下界為
\[\begin{array}{l}
\max \{ {S_0} - PV(K),0\} \\
 \Rightarrow \max \{ 80 - 75{e^{10\%  \times \left( {6/12} \right)}},0\}  = \max \{ 8.66,0\}  = 8.66
\end{array}\]


延伸閱讀
[衍生商品] 淺談選擇權 (2) - Put-Call Parity

[衍生商品] 淺談選擇權 (0) - Moneyness and profit/payoff of Option

選擇權 (Option) 定義： 為一個非綁定合約，給予 持有者 在合約上約定的 (未來)到期日期 (Expriation date)，依照合約上約定的 執行價格 (Strike price)，買入或者賣出標的資產 (EX: 股價、指數、外匯利率) 的權利。

Comment
1. 上述 非綁定合約，意指 持有者不一定要履行選擇權。亦可選擇放棄履行
2. 選擇權 與 期貨 (futures) 最大差別在於 選擇權買方需先支付權利金 (premium) 給賣方。但期貨無須先支付權利金。

選擇權依照分類有兩種：

1. 買權 (Call option): 
在指定到期日期，持有者有權利以 Strike price 購買 標的資產

下圖為購買一組買權： Long (=Buy) a Call Option 在到期日的 Payoff 與 Profits (點圖放大)

上圖中 $C$ 表示 Call option 價格，而 $FV(C)$ 則為 到期時刻 Call option 的 future value，$K$ 為執行價格， $S_T$ 為到期日時的股價。其 Payoff 與 Profit 用數學表示可寫為：
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{Payoff}}{{\rm{}}_{Call}}:\max \left\{ {{S_T} - K,0} \right\}\\
{\rm{Profit}}{{\rm{}}_{Call}}:\max \left\{ {{S_T} - K,0} \right\} - FV\left( C \right)
\end{array} \right.\]

2. 賣權 (Put option): 
在指定到期日期，持有者有權利以 Strike price 賣出 標的資產

下圖為 購買一組賣權 Long (=Buy) a Put Option 在到期日的 Payoff 與 Profits (點圖放大)

上圖中 $P$ 表示 Put option 價格，而 $FV(P)$ 則為 到期時刻 Put option 的 future value，$K$ 為執行價格， $S_T$ 為到期日時的股價。其 Payoff 與 Profit 用數學表示可寫為：
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{Payoff}}{{\rm{}}_{Put}}:\max \left\{ {K - {S_T},0} \right\}\\
{\rm{Profit}}{{\rm{}}_{Put}}:\max \left\{ {K - {S_T},0} \right\} - FV\left( P \right)
\end{array} \right.\]

另外亦可依照 何時可以執行 來分類

1. 歐式選擇權 (European Option) : 只能在到期日才能執行 買/賣權。
2. 美式選擇權 (American Option) : 在到期日之前都能執行 買/賣權。

Comment:
 可以想見由於 美式選擇權給予持有者更大的彈性決定甚麼時候要執行，故此選擇權價格必定會高於 歐式選擇權。亦即如果我們稱 $C$ 為 Call option 價格， $P$ 為 Put Option 價格，則 美式與歐式之間有如下關係：
\[
C_{American} \geq C_{European}\\
P_{American} \geq P_{European}
\]另外今日大多數選擇權交易都以美式選擇權為主。


有了上述觀念，我們可以在介紹新的專有名詞，稱作 Moneyness of Option：

術語：Moneyness of Option 
一般而言，選擇權立刻執行的當下，我們可針對其 Payoff  (立刻執行的當下，選擇權的價格) 進行討論，賺錢/賠錢/或者不賠不賺的情況有一些相對應的術語，我們把他寫在下面：

1. In the Money: 
指如果立刻執行選擇權，則 payoff $>0$； (立刻執行會賺，稱 In the Money)
2. Out of the Money: 
指如果立刻執行選擇權，則 payoff $<0$； (立刻執行會賠，稱 Out of the Money)

3. At the Money: 
指如果立刻執行選擇權，則 Payoff $=0$； (立刻執行結果不賺不賠，稱 At the Money)

選擇權的價值 (Option Value)
選擇權價值 (Option Value) = 內在價值 (Intrinsic Value) + 時間價值 (Time Value)

亦即 我們可說
\[
\text{Option Value $\geq$ Intrinsic Value }
\] 其中 內在價格 = 如果現在立刻執行該選擇權所會獲得的 payoff；
時間價格 $>0$ always。

上述關係說明了 時間價格的隱含意義，他指出時間價格 用來表示儘管選擇權在一段時間內是 Out-of-money，但是隨著(未來)時間變動有可能會有上漲/下跌的可能，此可能性會導致儘管現在選擇權可能是處在 Out-of-money的狀態，其 Option Value 仍然是正值。因為人們可能預期未來選擇權的價值可能會上升

有了上述概念，我們可以開始先看一下一般而言，實際上 選擇權 是如何報價的：
下圖為美國芝加哥交易所(www.cboe.com) 對 S&P500 Index 的 American Option 報價 (Bid-Ask price)：

NOTE: 
Ask price: 你要購買選擇權所需花費的價格，
Bid price 你要賣出選擇權所得的價格

上圖中，左方綠色部分為 Call option (買權) ，右方則為 Put Option (賣權)；且執行價格為 $K=500, 600, 700, ...,1,000$，到期日為 May 2014。

那麼現在問題是，這些Bid-Ask Price 究竟如何得到的呢? 怎麼知道這些價格是否合理??
這些問題將留待下一篇文章在做介紹。
[衍生商品] 淺談選擇權 (1) - Some Properties of Option
[衍生商品] 淺談選擇權 (2) - Put-Call Parity

[衍生商品] Futures and Forward Pricing - No-Arbitrage Pricing Examples

這次要介紹 期貨與遠期契約的定價：

首先定義需要用到的符號：

$S_0:=$ 當前股價 (at time $0$)
$S_T:=$ 到期股價 (at time $T$)
$F_0:=$ 當前期貨價格(at time $0$)
$F_T:=$ 到期期貨價格 (at time $T$)
$T :=$ 到期時間 (以年計算)
$r:=$ 無風險年利率 (連續複利)
$D:=$ 配發股息
$q:=$ 配法股息利率 (連續複利)

無套利機會 (No-Arbitrage Opportunity ) 的遠期契約價格
\[
F_0^* = S_0 e^{(r-q)T}
\]上式等價
\[
F_0^* e^{rT}= S_0 -PV(D) + PV(Cost)
\]

現在考慮下面例子：

Example 1
考慮一個六個月股票遠期契約，且配發年股息 $3.96 \%$，當前股價為 $25$，無風險年利率為 $10 \%$，且股息與利率皆為連續複利。

(a) 試求 無套利價格 $F_0^*=$?
(b) 假設 $F_0=27$，是否存在套利機會?

Solution (a)
首先改寫已知資訊
\[
T=6/12, q=0.0396, S_0=25, r=0.1
\]計算無套利價格
\[
F_0^* = S_0 e^{(r-q)T} = 25 e^{(0.1-0.0396) \times \frac{6}{12}} = 25.766
\]

Solution (b)
由於 $F_0 = 27 > F_0^* = 25.766$，故存在套利機會 (存在買低賣高的機會)：
也就是說 現階段的 遠期契約價格高於合理價格，我們可以賣出 (Short) 此遠期契約，並透過借款買入當前股票達成套利
\[\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration}\\
\hline
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&{ + {F_0} - {S_T}}\\
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ - {S_0}{e^{ - qT}}}&{{S_T}}\\
{Borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ + {S_0}{e^{ - qT}}}&{ - \left( {{S_0}{e^{ - qT}}} \right){e^{rT}}}\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&{{F_0} - {S_0}{e^{\left( {r - q} \right)T}}}
\end{array}\\
\\
 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration}\\
\hline
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&{ + 27 - {S_T}}\\
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ - 24.51}&{{S_T}}\\
{Borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ + 24.51}&{ - 25.766}\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&{ 1.2340}
\end{array}
\end{array}\]



Example 2
考慮一個 10 個月股票遠期契約，當前股價為 $50$，且已知會在第6個月配發股息 $5$ 元。且6個月無風險年利率為 $4 \%$，10個月無風險年利率為 $5 \%$ 。皆為連續複利。

(a) 試求 無套利價格 $F_0^*=$?
(b) 假設 $F_0=52$，是否存在套利機會?
(c) 假設 $F_0=45$，是否存在套利機會?

Solution (a)

首先改寫已知資訊
\[
T=10/12, D=5, S_0=50, r_{10}=0.05, r_{6}=0.04
\]計算無套利價格
\[\begin{array}{l}
F_0^*{e^{rT}} = {S_0} - PV(D) + PV(Cost)\\
 \Rightarrow F_0^*{e^{0.05 \times \frac{{10}}{{12}}}} = 50 - 5{e^{ - 0.04 \times \frac{6}{{12}}}} + 0\\
 \Rightarrow F_0^* = 47.02
\end{array}\]

Solution (b)

由於 $F_0 = 52 > F_0^* =47.02$，故存在套利機會 (存在買低賣高的機會)：
現階段的 遠期契約價格高於合理價格，我們可以賣出 (Short) 此遠期契約，並透過借款買入當前股票達成套利
\[\small{\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration\left( {10\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month} \right)}\\
\hline
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&0&{ + {F_0} - {S_T}}\\
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ - {S_0}}&{ + D}&{{S_T}}\\
{Borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ + {S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}}&0&{ - \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right){e^{{r_{10}}T}}}\\
{borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ + D{e^{ - {r_4}T}}}&{ - D}&0\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&0&{ + {F_0} - \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right){e^{{r_{10}}T}}}
\end{array}\\
\\
 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration\left( {10\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month} \right)}\\
\hline
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&0&{ + 52 - {S_T}}\\
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ - 50}&{ + 5}&{{S_T}}\\
{Borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{50 - 4.9}&0&{ - \left( {45.1} \right){e^{{r_{10}}T}}}\\
{borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{4.90}&{ - 5}&0\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&0&{4.9811}
\end{array}
\end{array}}
\]
Solution (c)
由於 $F_0 = 45 < F_0^* =47.02$，故存在套利機會 (存在買低賣高的機會)：
現階段的 遠期契約價格低於合理價格，我們可以買入 (Long) 此遠期契約，並透過賣出當前股票達成套利
\[\small{\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration\left( {10\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month} \right)}\\
\hline
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&0&{ + {S_T} - {F_0}}\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ + {S_0}}&{ - D}&{ - {S_T}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ - \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right)}&0&{ + \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right){e^{{r_{10}}T}}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ - D{e^{ - {r_4}T}}}&{ + D}&0\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&0&{ + \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right){e^{{r_{10}}T}} - {F_0}}
\end{array}\\
\\
 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration\left( {10\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month} \right)}\\
\hline
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&0&{ + {S_T} - 45}\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{50}&{ - 5}&{ - {S_T}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ - \left( {45.1} \right)}&0&{ + \left( {45.1} \right){e^{0.05 \times \frac{{10}}{{12}}}}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ - 4.90}&{ + 5}&0\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&0&{2.0189}
\end{array}
\end{array}}\]