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[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (4) - Martingale Revisits

現在回頭再看看 Ito Formula 給我們的 Martingale 判別定理: ============================== Theorem (Martingale PDE condition) 考慮 $t \in [0,T]$,若 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$,且 \[ \frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} =0 \]則 $X_t = f(t, B_t)$ 為一個 Local Martingale。 再者,若  ${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)}\in \mathcal{H}^2$,亦即 \[ E \left[\int_0^t \left ( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)^2 ds \right] < \infty \]則 $X_t$ 為一個 Martingale ============================== 現在再看個例子看看 Ito Formula 怎麼幫助我們獲得 Martingale Example 1 令 $B_1(t), B_2(t), B_3 (t),...$ 互為獨立 Standard Brownian Motion。對 $k \in \mathbb{N}$ 定義函數 $g_k$ 與 \[ A_k(t) = \int_0^t g_k(B_1(s), B_2(s), ..., B_k(s))ds \] 現在試求 $A_2$ 使得 \[ B_1(t)^2 B_2(t)^2 - A_2(t) \]為 Martingale。 Hint: 利用 上述 PDE Martingale Condition。 Proof 我們要找 \[ {A_2}(t) = \int_0^t {{g_2}} ({B_1}(s),{B_2}(s))ds \] 使得 $B_1(

[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (3) - Differential form of the Ito formula and the Standard stochastic process

延續前篇,回憶我們手上有的雙變數 Ito formula for standard Brownian motion $B_t$ 。 若 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$,則我們有 Ito formula \[ \small f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)d{s} + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)d{B_s} + \frac{1}{2} \int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {s,{B_s}} \right)d{s} \] 一般而言上述形式過於冗長,文獻中多半將上式改寫為微分形式如下 \[ df(t,B_t) = \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {t,{B_t}} \right)d{t} + \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {t,{B_t}} \right)d{B_t} +  \frac{1}{2}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {t,{B_t}} \right)d{t} \] Comments: 上式微分形式僅為積分縮寫 , 亦即微分形式的Ito formula是  書寫上較為方便 ,但並無實質定義 。注意到當初在定義隨機積分 (Ito integral) 的時候,只有積分有嚴格定義 ( 用approximating sequence of step function in $\mathcal{H}_0^2$ 定義隨機積分,接著用 Density Lemma 拓展隨機積分到$\mathcal{H}^2$ space。),故並無微分的定義。  WHY? 因為 注意到微分形式需要 $dB_t$ 但是回憶標準布朗運動,我們知道$B_t$ 為連續函數但處處不可微分( but quadratic varia

[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (2) - Martingale PDE condtion

回憶先前提及的  Ito Integral 有下列重要結果:Ito-integral 為一個隨機過程,且若積分變數 $f \in \mathcal{H}^2$,則隨機積分為一個 Martingale。若 $f \in L_{LOC}^2$,則隨機積分為一個 Local martingale。我們把此結果記做 $(\star)$ 現在我們來看看 Ito formula 可以幫助我們判別是否為 Martingale or Local Martingale。 現在考慮 $t \in [0,T]$,回憶雙變數的 Ito formula \[ \small{ f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)ds +  \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right) dB_s +  \frac{1}{2}\int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {s,{B_s}} \right)ds } \] 現在將上式 $\int ds$ 項合併,可得 \[ \small{ f(t,{B_t}) = f(0,{B_0}) + \int_0^t {\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)} ds + \int_0^t {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \left( {s,{B_s}} \right)d{B_s}} \]觀察上式, 如果   $\int ds$ 項為零,亦即 \[ {\frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2

[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (1) - Two variables case

回憶我們在上一篇 [隨機分析] Ito-formula 與其應用 (0) -Simplest Case 所提出的問題先前問題,考慮 \[ M_t := \exp(\alpha B_t - \alpha^2 t/2) \]我們想要計算此Ito Integral \[ \int_0^t M_s dB_s =? \]注意到上式隨機積分中的積分變數 $M_t$ 不只是 $B_t$ 的函數,亦為 $t$的函數(亦即 $M_t = f(t, B_t)$ 為雙變數函數) 故原本的 simplest form of Ito formula  沒辦法直接應用,我們需要進一步修正Ito formula來讓我們可以對付 這種情況。 在修正Ito Formula 之前我們先定義下列函數 Definition: ($f \in \mathcal{C}^{m,n}(\mathbb{R^+} \times \mathbb{R})$) 考慮函數 $(t,x)  \mapsto f(t,x) \in \mathbb{R}$,且其對 $t$ 存在 $m$ 階導數且連續,對 $x$ 存在 $n$ 階導數且連續,則我們稱此函數 $f \in \mathcal{C}^{m,n}(\mathbb{R^+} \times \mathbb{R})$ 有了上面的定義,我們可以著手拓展Ito formula到雙變數函數 如下 ================= Theorem (Ito's Formula with Space and Time Variables) 對任意函數 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$,則對應的 Ito's formula 為 \[ \small{ f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)ds +  \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right) dB_s +  \frac{1}{2}\int_0^t \frac{{\partial

[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (0) -Simplest Case

在微積分中,我們計算的時候大多仰賴 微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus) 。那麼我們想問在建立隨機分析之後,是否也有類似的結果呢? 答案是肯定的。在隨機分析中這樣的結果稱作Ito formula 或者 Ito Lemma Theorem (Ito Formula - simplest Case) 若 $f : \mathbb{R}  \rightarrow  \mathbb{R}$ 且 $f \in \mathcal{C}^2$則 \[ f(B_t) = f(B_0) + \int_0^t f'(B_s) dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_t) ds \ \ \ \ (*) \] Comments: 1. 注意到如果上式 第二個積分 $\frac{1}{2}\int_0^t f''(B_t) ds=0$ (NOT Ito integral, but Lebesgue integral)的話,則我們確實回到的微積分基本定理。故第二項積分又稱 Ito correction term。 2. 注意到 第一個積分 $\int_0^t f'(B_s) dB_s $ (Ito integral) 為 zero mean,故此暗示了後方第二個積分必須要包含所有關於函數 $f(B_t)$ 漂移(drift)程度的資訊。 3. 注意到函數必須二階可微連續,亦即 $f \in \mathcal{C}^2$ 4. 注意到 Ito Integral 有下列重要結果:Ito-integral 為一個隨機過程,且若 $f \in \mathcal{H}^2$,則隨機積分為一個 Martingale。若 $f \in L_{LOC}^2$,則隨機積分為一個 Local martingale。 這邊我們先不證明,先舉幾個例子看看這個Ito formula 在計算Ito Integral的威力。 Example 1 令 $B_t$為標準布朗運動,試求  $\int_0^t B_s dB_s = ?$ Solution 因為我們想要求  $ \int_0^t B_s dB_s$,故想法是希望透過應用 Ito formula 來為

[衍生商品] 常見的選擇權交易策略(0) - 牛/熊市策略

基本選擇權策略可分為下列三類: 牛市策略(Bullish Strategy) : 牛市價差組合 認為股票會漲所使用的選擇權策略 熊市策略(Bearish Strategy) : 熊市價差組合 認為股票會跌所使用的選擇權策略  無方向策略   (Neutral or non-directional Strategy) : 其他各種組合 (Straddle, Strap, ...) 不確定漲跌時,但大約知道股票波動程度 (高 or 低)時所使用的選擇權策略) 現在我們先介紹第1種策略: 牛市策略(Bullish Strategy) -牛市價差 (Bull Spread) 組合 (透過Call option): 由 買入 一份 call option  與 賣出 一份(其他規格完全相同) 但 執行價格 $K$ 較高的 call option 。 所組成,下面考慮兩個執行價格 $K_1$ 與 $K_2$ 且 $K_2 > K_1$,則我們 Long a call @ $K_1$+ Short a call @ $K_2$,則此時 在到期時的收益 (不考慮 權利金( premium)的情況),可得到如下圖 (點圖放大) 現在如果我們考慮更實際的情況,也就是考慮要支付權利金 (premium) (也就是選擇權的價格),則此時 在到期時的收益變成 (點圖放大) 上圖中灰線代表未支付權利金時的情況。且 $FV(\cdot)$ 表示計算Future Value  另外 執行價格 $K_1$ 對應的 選擇權價格 $C(K_1)$。執行價格 $K_2$ 對應的 選擇權價格 $C(K_2)$。 Comments: 1. 由 選擇權定義可知,執行價格 $K_2 > K_1$ ,則 對應的選擇權價格 $C(K_2) < C(K_1)$。也就是說較低的執行價格較吸引人,因為表示可以較低的 $K_1$ 價格就購入股票。 2. 此法可用在認為股票會漲但可能漲幅有限,且自己不想付太多手續費時採用。WHY? 因為如果如果只有購入 一份 Call option @ $K_1$,則我們需在當日支付 $C(K_1)$ 的權利金,但是 如果採用 Bull Spread的策略,我們只在當日需支付 \[ C(K_2) -

[隨機分析] Ito Integral 淺談 (V) - Ito Integral on L^2 Local space and the connection with Gaussian process

這次要介紹的是 Ito integral on L^2 Local space 的另外一個重要結果: 如果我們考慮 積分變數 $f$ 不再是隨機過程,亦即 $f$ 為一非隨機函數, e.g., $f(t)$ (不再是 $f(t,\omega)$),則對此函數的 Ito integral: \[  \int_0^t f(s) dB_s \]為一個 Gaussian Process with zero mean 與 variance $\int_0^t f(s)^2 ds$。我們將此結果計做以下定理 Theorem (Nonrandom integrand of Ito integral yields a Gaussian process) 若 $f \in \mathcal{C}[0,T]$ 為 非 隨機 連續函數,則由 Ito integral 所定義的 隨機過程 $X_t$ \[ X_t := \int_0^t f(s) dB_s \ , \ t \in [0,T] \]為 mean zero Gaussian process 且有互相獨立增量與 covariance function \[ Cov(X_s,S_t) = \int_0^{s \wedge t} f^2(u) du \]除此之外,如果我們取在 $[0,T]$  上 Partition 定義如下 \[ t_i := iT/n, \ 0 \leq i \leq n \] ,且選擇 $t_i^*$ 滿足 $t_{i-1} \leq t_i^* \leq t_i \ , \forall 1 \leq i \leq n$,則我們有 Riemann Representation 如下: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(t_i^*) (B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) = \int_0^T f(s) dB_s \]其中上述 Limit 表 convergence in probability. Proof 此處的 Riemann Representation proof 可視為 之前 我們討論過的 對隨機函數 $f(B_s)$ 的 Riemann Representation 的特例, 詳細證

[隨機分析] Ito Integral 淺談 (IV) - Ito Integral on L^2 Local space and its Riemann Representation

延續 第三篇, [隨機分析] Ito Integral 淺談 (III) - Localization 我們有了 Localizing sequence $\{ \upsilon_n \}$之後,便可以開始著手拓展 Ito Integral 到 $f \in L_{LOC}^2[0, T]$。亦即 \[ \int_0^t f(\omega,s) dB_s \ \ \text{for $f \in L_{LOC}^2[0,T]$} \] 在定義上述Ito Integral之前,我們需要先介紹一個新的概念: Local Martingale ======== Definition (Local Martingale) 考慮 $t \in [0,T]$,令 $M_t$ 為一個對 filtration $\{ \mathcal{F}_t\}$ adapted 的隨機過程,則我們說 $M_t$ 為一個 Local Martingale 若下列條件成立: 存在一組 停止時間 的sequence  $\upsilon_1(\omega) \leq \upsilon_2(\omega) \leq ... \leq \upsilon_n(\omega) \leq ...$ 使得對所有的 $n$, \[ M_{t \wedge \upsilon_n(\omega)} - M_0 \] 為一個 Martingale, 且機率 $P\left( \bigcup\limits_n {\left\{ {\upsilon_n(\omega) = T} \right\}} \right) =1$ ======== Comment: 上述的一組停止時間的 sequence 即為我們先前所介紹的 Localizing sequence。 有了 Local Martingale 在手之後,我們便可以開始著手拓展Ito Integral 到 $f \in L_{LOC}^2[0, T]$。 ============= Definition: (Construction of the Ito Integral for $f \in L_{LOC}^2$ ) 考慮對所有 $n$, $X_{n,t}$ 為連續時間的 Ito Integral。 \[ X_

[隨機分析] Ito Integral 淺談 (III) - Localization

這次要介紹的是 Localization 的概念。 回憶之前我們所定義的 Ito Integral 都要求 我們的積分變數 $f \in \mathcal{H}^2$,亦即積分變數必須滿足如下 $L^2$ 可積性條件 \[ E \left[ \int_0^T f^2(\omega, t) dt \right] < \infty \] 現在如果我們考慮如下 Ito Integral: 考慮 $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 為連續函數 \[ \int_0^t g(B_s)dB_s \]則此 連續函數的積分變數 $g$ 並無法滿足我們的可積性條件 (WHY?):比如說如果我們選擇 \[ g(B_t) :={e^{{B_t}^4}} \],為一個連續函數,但如果我們現在去觀察其期望值: (by Jensen's inequality) \[ E[{e^{{B_t}^4}}] \ge {e^{E[{B_t}^4]}} = {e^{E[{B_t}^4]}} = {e^{3{t^2}}} \]上式透過Jensen inequality告訴我們有明確的下界,但並無上界 (隨著 $t$ 變大,下界跟著exponetially 變大),也就是說 $E[{e^{{B_t}^4}}] \rightarrow \infty$ 還沒開始積分就爆掉了。為了解決這個問題。 我們需要進一步拓展可積分的函數範圍,我們利用 Stopping time來巧妙的幫助我們拓展Ito Integral至更廣泛的函數 (EX: 連續函數)。 ------------------------ Definition:  $f \in L_{LOC}^2 [0,T]$ space 令函數 $f: \Omega \times [0,T] \rightarrow \mathbb{R}$ 為 measurable 與 adapted;若存在一組 非遞減 (nondecreasing) 停止時間(stopping time) 的 sequence \[ \upsilon_1(\omega) \leq \upsilon _2(\omega) \leq ... \leq \upsilon_n(\omega) \leq ..

[隨機分析] Ito Integral 淺談 (II) - 再論 Ito 積分的建構

回憶前篇 [隨機分析] Ito Integral 淺談 (I) - Ito 積分的建構與Ito Isometry property ,我們討論了在 $\mathcal{H}^2$ 空間 且固定時刻 $T$ 的隨機積分 的建構。 \[  I_T(f)(\omega) = \int_0^T f(\omega, t) dB_t \] 現在我們進一步放寬固定時刻 $T$ 的限制。使其拓展到 任意時刻 $t < T$ 在拓展積分之前我們先介紹一個方便使用的剪切函數 (truncation function) $m_t(\omega,s)$ ------------------ Definition: (Truncation function) 定義 \[{m_t}\left( {\omega ,s} \right): = \left\{ \begin{array}{l} 1{,_{}} \ \ \ s \le t\\ 0{,_{}} \ \ \ s > t \end{array} \right.\] -------------------- 有了 $m_t(\omega,s)$ 後,現在給定 $f \in \mathcal{H}^2[0,T]$,對 $t<T$ 我們可以定義被剪切過的函數 $f$ 稱作 $f^{(t)}$ 如下: \[ f^{(t)}(\omega,s):=f(\omega,s) \cdot m_t(\omega,s)\] 接著我們說對應被剪切過函數的隨機積分  $I_t (f^{(t)}) = I_T(m_t \cdot f) $  almost surely. Claim:   $f \in \mathcal{H}^2[0,T]$,   $I_t (f^{(t)}) = I_T(m_t \cdot f) $  almost surely. Proof 首先由於 $f \in \mathcal{H}^2$,由之前在第一篇提及的 LEMMA ( $\mathcal{H}_0^2$  $\text{is Dense in}$ $\mathcal{H}^2$) 可知,我們可以找到一組 approximating sequence $f_n \in \mathcal{H}_0^2$ 使得當 $n

[最佳化理論] Conjugate Direction Methods (2) - The Conjugate Gradient Algorithm for Quadratic Objective function

OK,現在接續前面兩篇 1.  [最佳化理論] Conjugate Direction Methods (0) -Theory 2.  [最佳化理論] Conjugate Direction Methods (1) - Basic Algorithm for Quadratic Objective function 這次要來解決如何找到 Conjugate Direction的辦法。幫助我們找到 Conjugate Direction 的方法稱作  共軛梯度演算法 (Conjugate Gradient algorithm) 。 此演算法 藉由 梯度的幫助,使得在任意跌代步驟中,Conjugate Direction 可以由 前一個跌代步的方向 與 現在的 梯度做線性組合來計算出來。且用此法所產生的 Direction 可以保證是 每個方向都是互為 Q-conjugate。故名為 Conjugate Gradient Algorithm;最後我們會給出一個以 二階具有 $n=3$ 個變數的目標函數 作為例子來展示這套方法。 =============== 如前所述,考慮標準二階目標函數 \[ J(u) = \frac{1}{2} u^T Q u - u^T b, \ u \in \mathbb{R}^n \] 其中 $Q = Q^T >0$。 現在我們來看看Conjugate Gradient Algorithm 是如何找到 Conjugate Direction: 對 初始跌代步:$k=0$。 給定任意初始值 $x^{(0)}$ ,且設定 初始方向為最陡坡度(steepest descent)方向,亦即 $d^{(0)} = - \bigtriangledown J(u^{(0)})$ 因此 $ u^{(1)} = u^{(0)} + \alpha_0 d^{(0)}$ 其中 $\alpha_0$ 一般而言是由line search (一般而言使用MATLAB fminsearch 指令較為簡便)得到,亦即 $\alpha_0 = \arg \min J(x^{(0)} + \alpha d^{(0)})$ 不過如果是 考慮 二階目標函數中,則我們可以求得精確的 $\alpha_k$ 如下式 \[

[最佳化理論] Conjugate Direction Methods (1) - Basic Algorithm for Quadratic Objective function

再接續前面介紹過的  [最佳化理論] Conjugate Direction Methods (0) -Theory 這次我們要介紹 Basic Conjugate Direction Methods  對於 標準二階目標函數的應用。現在考慮下列標準 二階 具有 n 個變數的目標函數 \[ J(u) = \frac{1}{2} u^T Q u + b^T u +c \] 其中 $Q=Q^T >0$ 且 $u \in \mathbb{R}^n$ Comments: 注意到標準二階目標函數,我們知道 其真正的最佳解為何。 (why?) 由 一階必要條件 FONC: $\bigtriangledown J(u^*) =0$ 可知 \[ \bigtriangledown J^T(u) = \frac{1}{2} \left[ {{{\left( {Qu} \right)}^T} + {u^T}Q} \right] + {b^T} = 0 \]因為 $Q^T = Q$ ,上式可改寫 \[ \bigtriangledown J(u) = Q u + {b} = 0 \Rightarrow u^* =  - {Q^{ - 1}}b \]再者檢驗二階充分條件 SOSC (Hessian Condition): ($\bigtriangledown^2 J(u^*) > 0$) $ \bigtriangledown^2 J(u) =Q $ 又因為我們說  $Q$ 為正定矩陣。故 $ \bigtriangledown^2 J(u) =Q >0 $; 亦即 $u^* =  - {Q^{ - 1}}b$ 為 Strong Local minimum (在此例中, $u^* =  {Q^{ - 1}}b$ 亦為 Global minimum)。 ------------------ 對於上述的標準二階目標函數而言,Conjugate Direction Algorithm 設計如下 ============================ Basic Conjugate Direction Algorithm 給定初始值 $u^{(0)}$ 與 Q-conjugate 方向 $d^{(0)}, d^{(1)}, ..., d^

[最佳化理論] Conjugate Direction Methods (0) -Basic Theory

這次要跟大家介紹的是最佳化理論中的 一類 算法;叫做  Conjugate Direction Method s (共軛方向演算法)。 此次我們主要focus在理論部分。實際演算法實現留待之後再介紹 (想要看算法的讀者建議直接閱讀  [最佳化理論] Conjugate Direction Methods (2) - The Conjugate Gradient Algorithm for Quadratic Objective function  ) 注意這邊我用 Method"s",表示所謂的Conjugate Direction Method有很多種。所以我們稱之為這一類。在介紹之前先說說這類 計算方法 有甚麼特色 對於 2階 具有n個變數的 目標函數 (Quadratic Objective function with n variables) 可以在 n步驟內求解。(也就是對二階目標函數收斂性很好 (求解的計算速度夠快) )  一般而言常用的 Conjugate Direction Gradient Algorithm 方法不需要計算 Hessian Matrix Conjugate Direction Methods 不須計算反矩陣 Comments: 上述的 2階 具有n個變數的 目標函數 表示如下: 對 $u \in \mathbb{R}^n$ , $Q$ 為 對稱 且 正定矩陣  $Q=Q^T \succ 0$ ,目標函數寫為 \[ J(u) = \frac{1}{2} u^T Q u - u^T b \] 那麼現在我們來問問,什麼叫Conjugate Direction?? 本質上來說就是他是一個 方向 (也就是向量 )! 具有共軛 (Conjugate) 的性質。所以我們得先知道什麼叫做 Conjugate;以下一組向量  $ d^{(0)}, d^{(1)}, ..., d^{(m)}$ 被稱作 Conjugate 的定義 ----------------- ${ \bf \text{Definition: (Q-Conjugate)}}$ 令 $Q$ 為一個 real symmetric $n \times n$ 矩陣。其方向 $ d^{(0)}, d^{(1)}, ...

[隨機分析] Ito Integral 淺談 (I) - Ito Integral 的建構與 Ito Isometry property

這次要介紹隨機分析中的 Ito  integral 的建構: 目標:建立下面的(隨機)積分 or  Ito integral  \[ {\color {red} {I(f)(\omega) = \int_0^T f(\omega, t) dB_t}} \ \ \ \ (*) \] 其中 $T$ 為固定時間, $B_t$ 是標準布朗運動(Standard Brownian motion)。 $f(\omega, t)$是一個隨機過程。 $I(f) (\omega)$ 表示積分為一個 mapping (之後會定義該從哪邊mapping到哪邊),且積分完畢之後會是一個隨機變數 (function of $\omega$) Comment: 你可能會問上面的積分跟一般積分有何不同!? 第一 是積分變數 $f(\omega,t)$ 不再是定數。此時的積分變數為一個隨機過程。 第二是 後方積分對象 $dB_t$ 亦為一個隨機過程 (標準布朗運動)。此時會使原本的Riemann -Stieltjes 積分無法定義(因為寫成sum之後左端點與右端點的答案不同)。 ( Ito Integral 選擇左端點因為之後會有較好的性質 ( Ito integral is (Local) martingale. )不過這是後話。) 建構 Ito 積分的想法如下: 先透過一類簡單的函數定義出上面的積分。再將其定義域擴展到更廣的函數類別。 積分變數(Integrand)需要那些條件? 為了要讓上述的積分可以make sense, $(*)$ 式子中的積分變數 $f(\omega,t)$ 必須先滿足一些基本的可測性 (measurability) 與可積分 (integrability) 的條件。 首先考慮可測性(measurability): 令 $\mathcal{B}:=$ the smallest $\sigma$-algebra that contains all of the open subsets of $[0, T]$ $\{ \mathcal{F}_t \}:=$ be standard Brownian filtration 且對所有的 $t \geq 0$, $\mathcal{F}_t \times \mathcal{B}:=$