謝宗翰的隨筆

現在回頭再看看 Ito Formula 給我們的 Martingale 判別定理：

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Theorem (Martingale PDE condition)
考慮 $t \in [0,T]$，若 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$，且
\[
\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} =0
\]則 $X_t = f(t, B_t)$ 為一個 Local Martingale。
再者，若  ${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)}\in \mathcal{H}^2$，亦即
\[
E \left[\int_0^t \left ( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)^2 ds \right] < \infty
\]則 $X_t$ 為一個 Martingale
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現在再看個例子看看 Ito Formula 怎麼幫助我們獲得 Martingale

Example 1
令 $B_1(t), B_2(t), B_3 (t),...$ 互為獨立 Standard Brownian Motion。對 $k \in \mathbb{N}$ 定義函數 $g_k$ 與
\[
A_k(t) = \int_0^t g_k(B_1(s), B_2(s), ..., B_k(s))ds
\] 現在試求 $A_2$ 使得
\[
B_1(t)^2 B_2(t)^2 - A_2(t)
\]為 Martingale。 Hint: 利用 上述 PDE Martingale Condition。

Proof
我們要找
\[
{A_2}(t) = \int_0^t {{g_2}} ({B_1}(s),{B_2}(s))ds
\] 使得 $B_1(t)^2 B_2(t)^2 - A_2(t)$ 為 Marting…

延續前篇，回憶我們手上有的雙變數 Ito formula for standard Brownian motion $B_t$ 。

若 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$，則我們有 Ito formula
\[ \small
f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)d{s} + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)d{B_s} + \frac{1}{2} \int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {s,{B_s}} \right)d{s}
\]
一般而言上述形式過於冗長，文獻中多半將上式改寫為微分形式如下
\[
df(t,B_t) = \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {t,{B_t}} \right)d{t} + \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {t,{B_t}} \right)d{B_t} +  \frac{1}{2}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {t,{B_t}} \right)d{t}
\]

Comments:
上式微分形式僅為積分縮寫，亦即微分形式的Ito formula是 書寫上較為方便，但並無實質定義。注意到當初在定義隨機積分 (Ito integral) 的時候，只有積分有嚴格定義 ( 用approximating sequence of step function in $\mathcal{H}_0^2$ 定義隨機積分，接著用 Density Lemma 拓展隨機積分到$\mathcal{H}^2$ space。)，故並無微分的定義。

 WHY? 因為 注意到微分形式需要 $dB_t$ 但是回憶標準布朗運動，我們知道$B_t$ 為連續函數但處處不可微分( but quadratic variation is finite in pr…

回憶先前提及的  Ito Integral 有下列重要結果：Ito-integral 為一個隨機過程，且若積分變數 $f \in \mathcal{H}^2$，則隨機積分為一個 Martingale。若 $f \in L_{LOC}^2$，則隨機積分為一個 Local martingale。我們把此結果記做 $(\star)$

現在我們來看看 Ito formula 可以幫助我們判別是否為 Martingale or Local Martingale。

現在考慮 $t \in [0,T]$，回憶雙變數的 Ito formula
\[
\small{
f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)ds +  \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right) dB_s +  \frac{1}{2}\int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {s,{B_s}} \right)ds }
\]
現在將上式 $\int ds$ 項合併，可得
\[
\small{ f(t,{B_t}) = f(0,{B_0}) + \int_0^t {\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)} ds + \int_0^t {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \left( {s,{B_s}} \right)d{B_s}}
\]觀察上式，如果  $\int ds$ 項為零，亦即
\[
{\frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {s,{B…

回憶我們在上一篇
[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (0) -Simplest Case
所提出的問題先前問題，考慮
\[
M_t := \exp(\alpha B_t - \alpha^2 t/2)
\]我們想要計算此Ito Integral
\[
\int_0^t M_s dB_s =?
\]注意到上式隨機積分中的積分變數 $M_t$ 不只是 $B_t$ 的函數，亦為 $t$的函數(亦即 $M_t = f(t, B_t)$ 為雙變數函數) 故原本的 simplest form of Ito formula  沒辦法直接應用，我們需要進一步修正Ito formula來讓我們可以對付 這種情況。

在修正Ito Formula 之前我們先定義下列函數

Definition: ($f \in \mathcal{C}^{m,n}(\mathbb{R^+} \times \mathbb{R})$)
考慮函數 $(t,x)  \mapsto f(t,x) \in \mathbb{R}$，且其對 $t$ 存在 $m$ 階導數且連續，對 $x$ 存在 $n$ 階導數且連續，則我們稱此函數 $f \in \mathcal{C}^{m,n}(\mathbb{R^+} \times \mathbb{R})$

有了上面的定義，我們可以著手拓展Ito formula到雙變數函數 如下

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Theorem (Ito's Formula with Space and Time Variables)
對任意函數 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$，則對應的 Ito's formula 為
\[
\small{
f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)ds +  \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right) dB_s +  \frac{1}{2}\int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\l…

在微積分中，我們計算的時候大多仰賴 微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)。那麼我們想問在建立隨機分析之後，是否也有類似的結果呢? 答案是肯定的。在隨機分析中這樣的結果稱作Ito formula 或者 Ito Lemma
Theorem (Ito Formula - simplest Case)
若 $f : \mathbb{R}  \rightarrow  \mathbb{R}$ 且 $f \in \mathcal{C}^2$則
\[
f(B_t) = f(B_0) + \int_0^t f'(B_s) dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_t) ds \ \ \ \ (*)
\]
Comments:
1. 注意到如果上式 第二個積分 $\frac{1}{2}\int_0^t f''(B_t) ds=0$ (NOT Ito integral, but Lebesgue integral)的話，則我們確實回到的微積分基本定理。故第二項積分又稱 Ito correction term。
2. 注意到 第一個積分 $\int_0^t f'(B_s) dB_s $ (Ito integral) 為 zero mean，故此暗示了後方第二個積分必須要包含所有關於函數 $f(B_t)$ 漂移(drift)程度的資訊。
3. 注意到函數必須二階可微連續，亦即 $f \in \mathcal{C}^2$
4. 注意到 Ito Integral 有下列重要結果：Ito-integral 為一個隨機過程，且若 $f \in \mathcal{H}^2$，則隨機積分為一個 Martingale。若 $f \in L_{LOC}^2$，則隨機積分為一個 Local martingale。

這邊我們先不證明，先舉幾個例子看看這個Ito formula 在計算Ito Integral的威力。

Example 1
令 $B_t$為標準布朗運動，試求  $\int_0^t B_s dB_s = ?$

Solution
因為我們想要求  $ \int_0^t B_s dB_s$，故想法是希望透過應用 Ito formula 來為我們產生出此隨機積分項。此積分項出現在Ito formula 等…

基本選擇權策略可分為下列三類：

牛市策略(Bullish Strategy) : 牛市價差組合
認為股票會漲所使用的選擇權策略熊市策略(Bearish Strategy) : 熊市價差組合
認為股票會跌所使用的選擇權策略 無方向策略(Neutral or non-directional Strategy) : 其他各種組合 (Straddle, Strap, ...)
不確定漲跌時，但大約知道股票波動程度 (高 or 低)時所使用的選擇權策略)
現在我們先介紹第1種策略：

牛市策略(Bullish Strategy)

-牛市價差 (Bull Spread) 組合 (透過Call option)：
由 買入 一份 call option  與 賣出 一份(其他規格完全相同) 但 執行價格 $K$ 較高的 call option 。所組成，下面考慮兩個執行價格 $K_1$ 與 $K_2$ 且 $K_2 > K_1$，則我們 Long a call @ $K_1$+ Short a call @ $K_2$，則此時 在到期時的收益 (不考慮 權利金( premium)的情況)，可得到如下圖 (點圖放大)

現在如果我們考慮更實際的情況，也就是考慮要支付權利金 (premium) (也就是選擇權的價格)，則此時 在到期時的收益變成 (點圖放大)

上圖中灰線代表未支付權利金時的情況。且 $FV(\cdot)$ 表示計算Future Value  另外 執行價格 $K_1$ 對應的 選擇權價格 $C(K_1)$。執行價格 $K_2$ 對應的 選擇權價格 $C(K_2)$。
Comments: 1. 由 選擇權定義可知，執行價格 $K_2 > K_1$ ，則 對應的選擇權價格 $C(K_2) < C(K_1)$。也就是說較低的執行價格較吸引人，因為表示可以較低的 $K_1$ 價格就購入股票。
2. 此法可用在認為股票會漲但可能漲幅有限，且自己不想付太多手續費時採用。WHY? 因為如果如果只有購入 一份 Call option @ $K_1$，則我們需在當日支付 $C(K_1)$ 的權利金，但是 如果採用 Bull Spread的策略，我們只在當日需支付
\[
C(K_2) - C(K_1)
\]
注意到由comment 1可知， $C(K_2) < C(K_1) \Rig…

這次要介紹的是 Ito integral on L^2 Local space 的另外一個重要結果：

如果我們考慮 積分變數 $f$ 不再是隨機過程，亦即 $f$ 為一非隨機函數, e.g., $f(t)$ (不再是 $f(t,\omega)$)，則對此函數的 Ito integral：
\[
 \int_0^t f(s) dB_s
\]為一個 Gaussian Process with zero mean 與 variance $\int_0^t f(s)^2 ds$。我們將此結果計做以下定理

Theorem (Nonrandom integrand of Ito integral yields a Gaussian process)
若 $f \in \mathcal{C}[0,T]$ 為非隨機 連續函數，則由 Ito integral 所定義的 隨機過程 $X_t$
\[
X_t := \int_0^t f(s) dB_s \ , \ t \in [0,T]
\]為 mean zero Gaussian process 且有互相獨立增量與 covariance function
\[
Cov(X_s,S_t) = \int_0^{s \wedge t} f^2(u) du
\]除此之外，如果我們取在 $[0,T]$  上 Partition 定義如下
\[
t_i := iT/n, \ 0 \leq i \leq n
\] ，且選擇 $t_i^*$ 滿足 $t_{i-1} \leq t_i^* \leq t_i \ , \forall 1 \leq i \leq n$，則我們有 Riemann Representation 如下:
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(t_i^*) (B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) = \int_0^T f(s) dB_s
\]其中上述 Limit 表 convergence in probability.

Proof
此處的 Riemann Representation proof 可視為 之前 我們討論過的 對隨機函數 $f(B_s)$ 的 Riemann Representation 的特例， 詳細證明請參閱之前文章
[隨機分析] Ito Integra…

延續 第三篇，
[隨機分析] Ito Integral 淺談 (III) - Localization

我們有了 Localizing sequence $\{ \upsilon_n \}$之後，便可以開始著手拓展 Ito Integral 到 $f \in L_{LOC}^2[0, T]$。亦即
\[
\int_0^t f(\omega,s) dB_s \ \ \text{for $f \in L_{LOC}^2[0,T]$}
\]
在定義上述Ito Integral之前，我們需要先介紹一個新的概念： Local Martingale

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Definition (Local Martingale)
考慮 $t \in [0,T]$，令 $M_t$ 為一個對 filtration $\{ \mathcal{F}_t\}$ adapted 的隨機過程，則我們說 $M_t$ 為一個 Local Martingale 若下列條件成立：
存在一組 停止時間 的sequence  $\upsilon_1(\omega) \leq \upsilon_2(\omega) \leq ... \leq \upsilon_n(\omega) \leq ...$ 使得對所有的 $n$， \[ M_{t \wedge \upsilon_n(\omega)} - M_0 \] 為一個 Martingale， 且機率 $P\left( \bigcup\limits_n {\left\{ {\upsilon_n(\omega) = T} \right\}} \right) =1$ ========
Comment: 上述的一組停止時間的sequence 即為我們先前所介紹的 Localizing sequence。


有了 Local Martingale 在手之後，我們便可以開始著手拓展Ito Integral 到 $f \in L_{LOC}^2[0, T]$。

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Definition: (Construction of the Ito Integral for $f \in L_{LOC}^2$)
考慮對所有 $n$， $X_{n,t}$ 為連續時間的 Ito Integral。
\[
X_{n,t} := \int_0^t f(\omega, s) \cdo…

這次要介紹的是 Localization 的概念。

回憶之前我們所定義的 Ito Integral 都要求 我們的積分變數 $f \in \mathcal{H}^2$，亦即積分變數必須滿足如下 $L^2$ 可積性條件
\[
E \left[ \int_0^T f^2(\omega, t) dt \right] < \infty
\]
現在如果我們考慮如下 Ito Integral：
考慮 $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 為連續函數
\[
\int_0^t g(B_s)dB_s
\]則此 連續函數的積分變數 $g$ 並無法滿足我們的可積性條件 (WHY?)：比如說如果我們選擇
\[
g(B_t) :={e^{{B_t}^4}}
\]，為一個連續函數，但如果我們現在去觀察其期望值： (by Jensen's inequality)
\[
E[{e^{{B_t}^4}}] \ge {e^{E[{B_t}^4]}} = {e^{E[{B_t}^4]}} = {e^{3{t^2}}}
\]上式透過Jensen inequality告訴我們有明確的下界，但並無上界 (隨著 $t$ 變大，下界跟著exponetially 變大)，也就是說 $E[{e^{{B_t}^4}}] \rightarrow \infty$ 還沒開始積分就爆掉了。為了解決這個問題。 我們需要進一步拓展可積分的函數範圍，我們利用 Stopping time來巧妙的幫助我們拓展Ito Integral至更廣泛的函數 (EX: 連續函數)。

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Definition: $f \in L_{LOC}^2 [0,T]$ space
令函數 $f: \Omega \times [0,T] \rightarrow \mathbb{R}$ 為 measurable 與 adapted；若存在一組 非遞減 (nondecreasing) 停止時間(stopping time) 的 sequence
\[
\upsilon_1(\omega) \leq \upsilon _2(\omega) \leq ... \leq \upsilon_n(\omega) \leq ...
\] 使得 $f_n(\omega,t) …

回憶前篇[隨機分析] Ito Integral 淺談 (I) - Ito 積分的建構與Ito Isometry property
，我們討論了在 $\mathcal{H}^2$ 空間 且固定時刻 $T$ 的隨機積分 的建構。
\[
 I_T(f)(\omega) = \int_0^T f(\omega, t) dB_t \]
現在我們進一步放寬固定時刻 $T$ 的限制。使其拓展到 任意時刻 $t < T$

在拓展積分之前我們先介紹一個方便使用的剪切函數 (truncation function) $m_t(\omega,s)$

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Definition: (Truncation function)
定義
\[{m_t}\left( {\omega ,s} \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1{,_{}} \ \ \ s \le t\\
0{,_{}} \ \ \ s > t
\end{array} \right.\]
--------------------

有了 $m_t(\omega,s)$ 後，現在給定 $f \in \mathcal{H}^2[0,T]$，對 $t<T$ 我們可以定義被剪切過的函數 $f$ 稱作 $f^{(t)}$ 如下：
\[
f^{(t)}(\omega,s):=f(\omega,s) \cdot m_t(\omega,s)\]
接著我們說對應被剪切過函數的隨機積分  $I_t (f^{(t)}) = I_T(m_t \cdot f) $  almost surely.

Claim:  $f \in \mathcal{H}^2[0,T]$,$I_t (f^{(t)}) = I_T(m_t \cdot f) $  almost surely.

Proof
首先由於 $f \in \mathcal{H}^2$，由之前在第一篇提及的 LEMMA ( $\mathcal{H}_0^2$  $\text{is Dense in}$ $\mathcal{H}^2$) 可知，我們可以找到一組 approximating sequence $f_n \in \mathcal{H}_0^2$ 使得當 $n \rightarrow \infty$，
\[
||f - f_n…

OK，現在接續前面兩篇
1. [最佳化理論] Conjugate Direction Methods (0) -Theory
2. [最佳化理論] Conjugate Direction Methods (1) - Basic Algorithm for Quadratic Objective function

這次要來解決如何找到 Conjugate Direction的辦法。幫助我們找到 Conjugate Direction 的方法稱作 共軛梯度演算法 (Conjugate Gradient algorithm) 。

此演算法 藉由 梯度的幫助，使得在任意跌代步驟中，Conjugate Direction 可以由 前一個跌代步的方向 與 現在的 梯度做線性組合來計算出來。且用此法所產生的 Direction 可以保證是 每個方向都是互為 Q-conjugate。故名為 Conjugate Gradient Algorithm；最後我們會給出一個以 二階具有 $n=3$ 個變數的目標函數 作為例子來展示這套方法。

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如前所述，考慮標準二階目標函數
\[
J(u) = \frac{1}{2} u^T Q u - u^T b, \ u \in \mathbb{R}^n
\]
其中 $Q = Q^T >0$。

現在我們來看看Conjugate Gradient Algorithm 是如何找到 Conjugate Direction：

對 初始跌代步：$k=0$。
給定任意初始值 $x^{(0)}$ ，且設定 初始方向為最陡坡度(steepest descent)方向，亦即

$d^{(0)} = - \bigtriangledown J(u^{(0)})$

因此 $ u^{(1)} = u^{(0)} + \alpha_0 d^{(0)}$

其中 $\alpha_0$ 一般而言是由line search (一般而言使用MATLAB fminsearch 指令較為簡便)得到，亦即 $\alpha_0 = \arg \min J(x^{(0)} + \alpha d^{(0)})$
不過如果是 考慮 二階目標函數中，則我們可以求得精確的 $\alpha_k$ 如下式
\[
\alpha_0 = \arg \min J(x^{(0)} + \…

再接續前面介紹過的 [最佳化理論] Conjugate Direction Methods (0) -Theory

這次我們要介紹 Basic Conjugate Direction Methods  對於 標準二階目標函數的應用。現在考慮下列標準 二階 具有 n 個變數的目標函數
\[
J(u) = \frac{1}{2} u^T Q u + b^T u +c
\] 其中 $Q=Q^T >0$ 且 $u \in \mathbb{R}^n$

Comments:
注意到標準二階目標函數，我們知道 其真正的最佳解為何。 (why?)
由 一階必要條件 FONC： $\bigtriangledown J(u^*) =0$ 可知
\[
\bigtriangledown J^T(u) = \frac{1}{2} \left[ {{{\left( {Qu} \right)}^T} + {u^T}Q} \right] + {b^T} = 0
\]因為 $Q^T = Q$ ，上式可改寫
\[ \bigtriangledown J(u) = Q u + {b} = 0 \Rightarrow u^* =  - {Q^{ - 1}}b \]再者檢驗二階充分條件 SOSC (Hessian Condition): ($\bigtriangledown^2 J(u^*) > 0$)

$ \bigtriangledown^2 J(u) =Q $ 又因為我們說  $Q$ 為正定矩陣。故 $ \bigtriangledown^2 J(u) =Q >0 $； 亦即 $u^* =  - {Q^{ - 1}}b$ 為 Strong Local minimum (在此例中， $u^* =  {Q^{ - 1}}b$ 亦為 Global minimum)。

------------------

對於上述的標準二階目標函數而言，Conjugate Direction Algorithm 設計如下

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Basic Conjugate Direction Algorithm

給定初始值 $u^{(0)}$ 與 Q-conjugate 方向 $d^{(0)}, d^{(1)}, ..., d^{(n-1)}$；對 $k \geq 0$

$ {{…

這次要跟大家介紹的是最佳化理論中的 一類 算法；叫做 Conjugate Direction Methods (共軛方向演算法)。此次我們主要focus在理論部分。實際演算法實現留待之後再介紹
(想要看算法的讀者建議直接閱讀 [最佳化理論] Conjugate Direction Methods (2) - The Conjugate Gradient Algorithm for Quadratic Objective function )

注意這邊我用 Method"s"，表示所謂的Conjugate Direction Method有很多種。所以我們稱之為這一類。在介紹之前先說說這類 計算方法 有甚麼特色
對於 2階 具有n個變數的 目標函數 (Quadratic Objective function with n variables) 可以在 n步驟內求解。(也就是對二階目標函數收斂性很好 (求解的計算速度夠快) ) 一般而言常用的 Conjugate Direction Gradient Algorithm 方法不需要計算 Hessian MatrixConjugate Direction Methods 不須計算反矩陣Comments: 上述的2階 具有n個變數的 目標函數 表示如下：
對 $u \in \mathbb{R}^n$ ， $Q$ 為 對稱 且 正定矩陣  $Q=Q^T \succ 0$ ，目標函數寫為 \[
J(u) = \frac{1}{2} u^T Q u - u^T b
\]
那麼現在我們來問問，什麼叫Conjugate Direction??
本質上來說就是他是一個 方向 (也就是向量 )! 具有共軛 (Conjugate) 的性質。所以我們得先知道什麼叫做 Conjugate；以下一組向量  $ d^{(0)}, d^{(1)}, ..., d^{(m)}$ 被稱作 Conjugate 的定義

-----------------
${ \bf \text{Definition: (Q-Conjugate)}}$
令 $Q$ 為一個 real symmetric $n \times n$ 矩陣。其方向 $ d^{(0)}, d^{(1)}, ..., d^{(m)}$ 稱作 Q-conjugate 如果下列條件成立：
…

這次要介紹隨機分析中的 Ito  integral　的建構：

目標：建立下面的(隨機)積分 or  Ito integral 
\[
{\color {red} {I(f)(\omega) = \int_0^T f(\omega, t) dB_t}} \ \ \ \ (*) \]
其中 $T$ 為固定時間， $B_t$ 是標準布朗運動(Standard Brownian motion)。 $f(\omega, t)$是一個隨機過程。
$I(f) (\omega)$ 表示積分為一個 mapping (之後會定義該從哪邊mapping到哪邊)，且積分完畢之後會是一個隨機變數 (function of $\omega$)

Comment:
你可能會問上面的積分跟一般積分有何不同!?
第一 是積分變數 $f(\omega,t)$ 不再是定數。此時的積分變數為一個隨機過程。
第二是 後方積分對象 $dB_t$ 亦為一個隨機過程 (標準布朗運動)。此時會使原本的Riemann -Stieltjes 積分無法定義(因為寫成sum之後左端點與右端點的答案不同)。 ( Ito Integral 選擇左端點因為之後會有較好的性質 ( Ito integral is (Local) martingale. )不過這是後話。)

建構 Ito 積分的想法如下：
先透過一類簡單的函數定義出上面的積分。再將其定義域擴展到更廣的函數類別。


積分變數(Integrand)需要那些條件?
為了要讓上述的積分可以make sense， $(*)$ 式子中的積分變數 $f(\omega,t)$ 必須先滿足一些基本的可測性 (measurability) 與可積分 (integrability) 的條件。

首先考慮可測性(measurability)：
令 $\mathcal{B}:=$ the smallest $\sigma$-algebra that contains all of the open subsets of $[0, T]$
$\{ \mathcal{F}_t \}:=$ be standard Brownian filtration
且對所有的 $t \geq 0$， $\mathcal{F}_t \times \mathcal{B}:=$ the smallest $\sigma$-alge…