延續上篇,這次我們要介紹 線性非時變系統 (Linear Time-Invariant (LTI) System) 的求解。 考慮 LTI 動態系統的 狀態空間表示: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)}\\ {{\bf{y}}\left( t \right) = {\bf{Cx}}\left( t \right) + {\bf{Du}}\left( t \right)} \end{array}} \right. \]其中 $\bf{A}(\cdot), \bf{B}(\cdot), \bf{C}(\cdot),$ 與 $\bf{E}(\cdot)$ 為 $n \times n, n \times p, q \times n,$ 與 $q \times p$ 常數矩陣。 我們的目標: 求解 $\bf{x}(t)$。 在求解之前我們需要一些 exponential function ${e^{ {\bf{A}}t}}$的 FACTs: 首先回憶若令 $\bf A = a$ 亦即不再是矩陣而是一個常數 $a$,則 $e^{at}$ 具有 Taylor series 如下 \[{e^{at}}: = 1 + at + \frac{{{a^2}{t^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{a^n}{t^n}}}{{n!}} + ...\]故若現在讓 $a$ 變回矩陣 $\bf A$ 則我們有 \[{e^{{\bf{A}}t}}: = {\bf{I}} + {\bf{A}}t + \frac{1}{{2!}}{{\bf{A}}^2}{t^2} + ... + \frac{1}{{n!}}{{\bf{A}}^n}{t^n} + ... \]那麼下面幾個性質,讀者可以使用上述定義直接驗證。 ===================== FACT 1: Inverse property \[ {e^{ {\bf{A}}t}}{e^{ - {\bf{A}}t}} = \bf{I}. \] FACT 2: Identit