考慮某賭博系統其報酬率定義為 i.i.d. 隨機變數,記作 $X(k)$ 且具有分佈 $F_X$ 。現在定義 $V(k)$ 為在時刻 $k$ 之資產價值,且令 $K \in [0,1]$ 為投資比率,則時刻 $k$ 之投資策略可記作 \[ I(k) := K V(k) \]且投資人資產動態模型可表為 \begin{align*} V(k + 1) &= V(k) + I(k)X(k) \hfill \\ &= V(k) + KX(k)V(k) \hfill \\ &= \left( {1 + KX(k)} \right)V(k) \hfill \\ \end{align*} Definition: Growth Rate and Optimal Growth Rate 以投資比率 $K$ 為投資策略之資產成長率 (Growth Rate) 定義為 \[ g(K) := E[\log(1+K X(k))] \] 另外我們接著定義 最佳成長率 (Optimal Growth Rate) 如下 \[ g^* := \max_K g(K) \]且我們稱 $K^*$ 達到 $g^*$ 為 log-optimal feedback gain。 Comments: 上述問題的最簡形式(投擲單一銅板問題) 即為經典 凱利問題 (Kelly Optimization Problem) 且上述的最大化成長率又稱為凱利判准 (Kelly Criterion),有興趣讀者請參閱本部落格關於凱利問題的相關文章。 上述最佳成長率存在性由下列定理確保。 ================= Theorem: 令 $X(0),X(1),...X(N-1)$ 為 i.i.d. 報酬 且具有分佈 $F_X$,現在令 \[\frac{{{V^*}(N)}}{{V(0)}} = \prod\limits_{k = 0}^{N-1} {\left( {1 + {K^*}X(k)} \right)} \]則當 $N \to \infty$,我們有 \[\frac{1}{N}\log \frac{{{V^*}(N)}}{{V(0)}} \to {g^*}\]almost surely. ===========
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya