謝宗翰的隨筆

考慮某賭博系統其報酬率定義為 i.i.d. 隨機變數，記作 $X(k)$  且具有分佈 $F_X$ 。現在定義 $V(k)$ 為在時刻 $k$ 之資產價值，且令 $K \in [0,1]$ 為投資比率，則時刻 $k$ 之投資策略可記作
\[
I(k) := K V(k)
\]且投資人資產動態模型可表為
\begin{align*}
  V(k + 1) &= V(k) + I(k)X(k) \hfill \\
   &= V(k) + KX(k)V(k) \hfill \\
   &= \left( {1 + KX(k)} \right)V(k) \hfill \\
\end{align*}

Definition: Growth Rate and Optimal Growth Rate
以投資比率 $K$ 為投資策略之資產成長率 (Growth Rate) 定義為
\[
g(K) := E[\log(1+K X(k))]
\]
另外我們接著定義 最佳成長率 (Optimal Growth Rate) 如下
\[
g^* := \max_K g(K)
\]且我們稱 $K^*$ 達到 $g^*$ 為 log-optimal feedback gain。


Comments:
上述問題的最簡形式(投擲單一銅板問題) 即為經典 凱利問題 (Kelly Optimization Problem) 且上述的最大化成長率又稱為凱利判准 (Kelly Criterion)，有興趣讀者請參閱本部落格關於凱利問題的相關文章。


上述最佳成長率存在性由下列定理確保。

=================
Theorem:
令 $X(0),X(1),...X(N-1)$ 為 i.i.d. 報酬 且具有分佈 $F_X$，現在令
\[\frac{{{V^*}(N)}}{{V(0)}} = \prod\limits_{k = 0}^{N-1} {\left( {1 + {K^*}X(k)} \right)} \]則當 $N \to \infty$，我們有
\[\frac{1}{N}\log \frac{{{V^*}(N)}}{{V(0)}} \to {g^*}\]almost surely.
=================

Proof: 首先觀察
\begin{align*}
 …

=================
FACT 1: 兩凸集之交集仍為凸集
令 $C_1, C_2$ 為兩凸集，則 $C_1 \cap C_2$ 為凸集。
=================

Proof:
若 $C_1,C_2$ 任一者為空集合，亦即 $C_i = \emptyset, \;\;\; i=1 \text{ or } 2$ 則 $C_1 \cap C_2 = \emptyset$ 故為凸集。若 $C_1, C_2 \neq \emptyset$ ，我們可令 $x,y \in C_1 \cap C_2 $ 與 $\theta \in [0,1]$ 我們要證明
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in C_1 \cap C_2
\]
注意到$x,y \in C_1 \cap C_2 $ 表示 $x,y \in C_1$ 且同時 $x,y \in C_2$，由於 $C_1, C_2$ 為凸集，故 $\theta x + (1-\theta) y   \in C_1$ 且 $\theta x + (1-\theta) y   \in C_2$ 亦即，
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in C_1 \cap C_2
\]故此得證。$\square$

上述結果可推廣到任意交集，亦即

=================
Theorem: 對任意  $i \in \mathcal{I}$ ， 令 $C_i$ 為凸集，則
\[
\bigcap_{i \in \mathcal{I}} C_i
\]亦為凸集。
=================
Proof: omitted (與前述 FACT 的證明雷同)



凸集合的用途非常廣泛，比如說在線性代數中最常被使用的空間為向量空間的子空間，此子空間即為凸集和。



================= FACT 2: Subspace 為凸集
令 $V$ 為任意 vector space，令 $W \subset V$ 且 $W \neq \emptyset$ 為 subspace，則 $W$ 為 凸集。
=================
Proof:
令 $x,y \in W$ 與 $\theta \in [0,1]$，我們要證明
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in W…

Markowitz 在 1952年 提出利用 Mean (或稱 一階動差) 與 Variance  (或稱 二階動差)這兩種統計量來判別一組 投資組合(portfolio) 的績效表現，該理論要求某投資組合具有較高 期望報酬 或者 較低 報酬變異，此理論被廣泛應用在現代金融 與 投資學，又稱 現代投資組合理論 。此文主要討論此理論具備的一些潛在的缺失：以下我們先給出基本定義：



考慮兩投資組合 $\{P_1, P_2\}$ 且令 $\{E_1, \sigma_1^2\}; \;\;\; \{E_2, \sigma_2^2 \}$ 分別為投資組合 $P_1$ 與 $P_2$ 之期望報酬 與 報酬變異
============================
Definition: Domination of Portfolios :
假設投資組合 $P_1$ 比另一 投資組合 $P_2$ 具有較高的期望報酬 與 較低的變異 (亦即 $E_1 > E_2$ 且 $\sigma_1^2 < \sigma_2^2$)，則我們稱 $P_1$ dominates $P_2$ 。

我們稱 $P_1$ 為 dominate $P_2$ in minimum variance sense 若 $\sigma_1 < \sigma_2$
同理，我們稱 $P_1$ 為 dominate $P_2$ in maximum expected return sense 若 $E_1 > E_2$
============================


令 $P$ 為一組投資組合，我們利用上述討論，可以進一步給出 efficient portfolio 定義。 ============================
Definition: Efficient Portfolio
1. 若沒有其他 投資組合可以 dominates $P$，則我們稱 $P$為 (absolutely) efficient。

2. 若沒有其他 投資組合 可以 dominate $P$ in minimum variance sense 則我們稱 $P$ 為 efficient in variance sense

3. 同理，若沒有其他 投資組合 可以 dominate $P$ in maxim…

此文我們將討論離散時間股價較為合宜的動態模型：令 $k=0,1,2,...,N-1$ 且 $S(k) >0$ 為時刻 $k$ 之股價 且 $S(0)$ 已知常數，現在考慮股價服從以下 乘法模型
\[
S(k+1) = u(k) S(k) \;\;\;\; (*)
\] 其中  $u(k)$ 為  mutually independent 隨機變數 (代表時刻 $k$ 到 $k+1$ 股價的相對變化，亦即 $u(k) = S(k+1)/S(k)$)。現在對上述乘法模型等號兩邊取對數
\begin{align*}
  \ln S(k + 1) &= \ln \left( {u(k)S(k)} \right) \hfill \\
  & = \ln u(k) + \ln \left( {S(k)} \right)
\end{align*}
上述等號對 $k=0,1,2...,N-1$ 皆成立。

Comments:
1. 上述乘法模型中的 $u(k)$ 導致下一時刻的股價產生隨機波動，此結果在一般經濟學中稱為 價格衝擊 (shocks) 在控制理論中被稱為 干擾 (disturbances) 。
2. 上述乘法模型為股價離散時間標準模型，若我們考慮上述 $k=0,1,...,N$ 發生在 時間範圍 $\Delta t$ 之間，則讓 $N \to \infty$ 我們可以近似 股價連續時間的標準模型，也就是 幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)，但此非本文重點在此不做贅述，有興趣的讀者可以參閱本 BLOG其他相關幾何布朗運動的文章。



對數常態分布的股價 (Log-normal Price)
現在對  $k=0,1,2...,N-1$ ，定義 $w(k):= \ln u(k)$ 且我們指定 $w(k)$ 服從具有 $E[w(k)] = \mu$ 與變異數 $Var(w(k)) = \sigma^2$ 的常態分佈 且 $w(k)$ mutually independent 。

Comments:
由於 $w(k):= \ln u(k)$，我們有 $u(k) = exp(w(k))$ 且 由於 $w(k) \sim N(\mu, \sigma^2)$ 故 $u(k)$ 為 log-normal 隨機變數 (亦即 取 log 之後為常…

得 貨財 的能力從何而來？
申命記 8:17 - 18
恐怕你心裡說：『這貨財是我力量，我能力得來的。』
你要記念耶和華你的神，因為得貨財的力量是他給你的，為要堅定他向你列祖起誓所立的約，像今日一樣。

雅各書 4:13-15
你們有話說：「今天、明天我們要往某城裡去，在那裡住一年，做買賣得利。」 其實明天如何，你們還不知道。你們的生命是什麼呢？你們原來是一片雲霧，出現少時就不見了。 你們只當說：「主若願意，我們就可以活著，也可以做這事或做那事。」 
省思：上面的經文告訴我們，“得貨財的力量是神所賜的”，所以作為一個基督徒應當相信：賺錢的能力，生活的環境，自身的智慧與機會，以及身體健康 都來自上帝。主若願意，我們就可以做成這事或者那事。



財富是我們的倚靠嗎？

詩篇 52:7
說：「看哪！這就是那不以神為他力量的人，只倚仗他豐富的財物，在邪惡上堅立自己。」

箴言 11:28
倚仗自己財物的必跌倒，義人必發旺如青葉。

提摩太前書 6:17
你要囑咐那些今世富足的人，不要自高，也不要倚靠無定的錢財，只要倚靠那厚賜百物給我們享受的神。


積存資財的隱藏的禍患是什麼？
傳道書5:13-14
我見日光之下有一宗大禍患，就是財主積存資財反害自己。

何西阿書 13:6
這些民照我所賜的食物得了飽足，既得飽足，心就高傲，忘記了我。

省思：上面的經節提及了財主 積存資財 是一大禍患。基督徒可以發財，但不可貪財，總要認真盡自己本分做好工作，那麼自然有錢



貪求急速發財的有什麼後果
箴言28:20
誠實人必多得福，想要急速發財的不免受罰
箴言28:22
人有惡眼想要急速發財，卻不知窮乏必臨到他身

提前6:9  但那些想要發財的人，就陷在迷惑，落在網羅和許多無知有害的私慾裡，叫人沉在敗壞和滅亡中




貪愛錢財的禍患

來13:5  你們存心不可貪愛錢財，要以自己所有的為足：因為主曾說：我總不撇下你，也不丟棄你

提前6:10  貪財是萬惡之根，有人貪戀錢財，就被引誘離了真道，用許多愁苦把自己刺透了。
箴1:19  凡貪戀財利的，所行之路都是如此；這貪戀之心乃奪去得財者之命。
詩10:3  因為惡人以心願自誇；貪財的背棄耶和華，並且輕慢他


省思：聖經的本質：上帝多給誰，就跟誰多收。可以問問自己是否能做到沒錢時能感謝，有錢時也能感謝。一天到晚想著賺錢，貪財必敗壞基督徒要自己讀聖經，才能分辨



資財的作用

傳5:19  神賜人資財豐富，使他能以吃…

Definition: 令 $S \subset \mathbb{R}^n$ 則 $S$ 的 廣義直徑(generalized diameter) ，符號記作 $diam S$ 定義為
\[
diam S := \sup \{||x-y||: x,y \in S\}
\]

Comments:
如果上述集合為空集，則 $diam S = -\infty$

===================
Theorem:
若 $S \subset \mathbb{R}^n$ 則
\[
diam S = diam \; conv S
\]===================

Proof:
令 $S \subset \mathbb{R}^n$，我們要證明 $diam S = diam conv S$。故我們先證明
\[
diam S \leq diam \; cont S\;\;\;\;\; (*)
\]因為 $conv S \supset S$ 故由 廣義直徑的定義可知，上述不等式自動成立。接著我們證明
\[
diam S \geq diam \; conv S
\]現在任取 $x,y \in conv S$ ， 則由 convex hull 的性質可知 存在 $x_i, y_i \in S$ 與 $\mu_i, \lambda_i \geq 0$ 且 $\sum_i \mu_i = \sum_j \lambda_j = 1$ 使得
\[
x = \sum_i^n \mu_i x_i; \;\;\; y = \sum_i^k \lambda_i y_i
\]現在我們觀察
\begin{align*}
  \left\| {x - y} \right\| &= \left\| {\sum\limits_i^n {{\mu _i}} {x_i} - \sum\limits_i^k {{\lambda _i}} {y_i}} \right\| \hfill \\
   &= \left\| {\sum\limits_i^n {{\mu _i}} \left( {\sum\limits_i^k {{\lambda _i}} } \right){x_i} - \sum\limits_i^k {{\lambda _i}} \left( {\sum\limits_i^n {{\m…

投資組合(Portfolio)的報酬
考慮投資人手邊持有 $n$ 個資產 且每組資產對應的 (隨機)報酬率 為 $r_1,r_2,...,r_n$ 且對於 $i=1,2,...,n$ 我們定義 $r_i$ 的期望報酬 為 $E[r_i] \doteq \bar{r}_i$ ，現在投資人欲使用此 $n$ 個資產來 建構 合適的投資組合如下： 針對每一個資產，投資人將指派對應的 (確定)權重 (weights)，亦即 對 $i=1,...,n$ 我們指派 $w_i$ 作為第 $i$ 個資產的權重，且我們要求權重須滿足 Self-finacing 條件，亦即：$$
\sum_{i=1}^n w_i =1
$$則投資人 整體投資組合 的報酬 我們記作 $r$ 可由下式表示
\[
r := w_1 r_1 + w_2 r_2 + \cdots + w_n r_n
\]則我們稱此投資組合為 $n$ 資產投資組合，且 $r$ 稱為 $n$ 資產投資組合的報酬率。那麼由於 $r_i$ 為 隨機，致使 $r$ 亦為隨機，故我們希望可以透過一些統計量幫助我們描述此 隨機的報酬率，一般而言，在投資組合理論裡面最常用的兩個統計量即為 期望值 與 變異數，( 一/二階動差) 來計算 投資組合的 期望報酬 與 風險變異。

Comments:
1. 在一般投資組合理論中，風險(Risk) 一般用 變異數(Variance) 來描述。但讀者應注意到變異數並非唯一的 風險可能描述，在較為進階的投資理論中還會提到其他用來描述 風險 的變量，比如說 絕對最大跌幅 (Absolute Maximum Drawdown)，百分比最大跌幅 (Percentage Maximum Drawdown)，風險價值 (Value of Risk, VaR) 或者 條件風險價值 (Conditional Value of Risk, CVaR)等等。

2. 有部分投資理論採用 變異數的平方根 (也就是 標準差 Standard Devision) 來定義 風險。為了區別起見，我們不稱其為"變異"


以下定理首先給出期望報酬率的結果

======================================
Theorem 1: 
上述 $n$資產的投資組合的期望報酬為
\[
E\left[ r \ri…

首先給出內部收益率 (又稱 內部報酬率) 的定義：

==============================
Definition: Internal Rate of Return (IRR)
給定 現金流 $(x_0,x_1,...,x_n)$ ，則我們稱其對應的 內部收益率(Internal Rate of Return, IRR) 為一實數 $r > -1 $ 滿足
\[0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} +  \cdots  + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}
\]==============================

以下我們看個關於 IRR的例子：假設初始現金流 $x_0$ 支出 1 元做某項投資，並且陸續將三年的報酬記錄如下：
該投資第一年所獲得的現金流報酬 $x_1$ 為 $1$元，該投資第二年所獲得的現金流報酬 $x_2$ 為 $1$元，該投資第三年所獲得的現金流報酬 $x_3$為 $0$元， 則我們可以將上述投資的現金流簡記為 $(x_0,x_1,x_2,x_3) = (-1,1,1,0)$ 下面例子可以讓讀者練習計算 IRR

==============================
Example: 給定現金流 $(x_0,x_1,x_2,x_3) = (-1,1,1,0)$ 試求 內部收益率 $r=?$
==============================
ANS:
由 IRR 定義
\begin{align*}
 & 0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^3}}} \hfill \\
 &  \Rightarrow 0 =  - 1 + \frac{1}{{1 + r}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{0}{{{{\left…

一般在 MATLAB 使用圖形常會加入 x,y 軸來幫助讀者了解圖形內容，有時候我們想要在 x-label 顯示 數學式子來使其更為簡潔：比如說我想要在 x-軸加入 $\hat{K}$ 則只要在 MATLAB 中使用以下指令即可：

xlabel('$$\hat{K}$$','Interpreter','Latex') 注意到上述指令中， "＄＄...＄＄" 符號用來告知 MATLAB 我們要使用 Latex 語法，下圖為執行上述指令 x-label 後，在圖形上顯示的樣子：


更為進階的 latex語法也完全支援：

xlabel('$$\hat{K}, \tilde{x}, \int_\mathcal{X} f_X(x)dx$$','Interpreter','Latex') 上述指令執行後結果如下圖：

此文主要討論離散泛函的極值與其必要條件，也就是所謂的離散版本的 Euler-Lagrange Equation，推薦讀者可先複習先前介紹過的 連續泛函 的極值與必要條件的相關知識，整體推導而言可謂非常類似。

考慮離散泛函
\[\left\{ \begin{align*}
  &J\left( x \right): = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {F\left( {x\left( k \right),x\left( {k + 1} \right),k} \right)} ; \hfill \\
  &x\left( {{0}} \right) = {x_0};x\left( {{N}} \right) = {x_1} \hfill \\
\end{align*}  \right.
\]其中 $F(x,y,t), \frac{{\partial F}}{{\partial x}}, \frac{{\partial F}}{{\partial y}}$ 在其定義域上連續函數。我們的目標是求序列 $x(0), x(1),...,x(N)$ 使得上述泛函 $J(x)$ 達到極值。

Comments:
前述設定中的離散狀態 $x(k) := x(t_k)$ 其中 $t_k = kT$ 且 $T$ 為取樣週期 (sampling period)

=====================================
Theorem: 離散版本的 Euler-Lagrange Equation
若 $x(1),...,x(N - 1) $ 使得上述泛函 $J(x)$ 達到極值，則對任意 $k=1,2,...,N-1$
\[\frac{{\partial F\left( {x(k),x(k + 1),k} \right)}}{{\partial x\left( k \right)}} + \frac{{\partial F\left( {x(k - 1),x(k),k - 1} \right)}}{{\partial x(k)}} =0\]=====================================

Proof: 令 $\delta x(k)$ 為 $x(k)$ 的變分，由於 $x(0) = x_0$ 與 $x(N)=x_1…

這次要介紹最簡單形式的 泛函極值問題的 必要條件，此條件一般又稱之為 Euler-Largrange Eqution。此方程可謂泛函極值的房角石，亦為之後在最佳控制理論中的最大值原理扮演開路先鋒，是極為重要的角色。在介紹之前，我們先做一般性的用語與基本性質介紹。


======================
Definition: 泛函
令 $\Omega$ 為 賦範函數空間 (normed function space)，若 對任意函數 $x(t) \in \Omega$ 都存在一個實數與之對應，則我們稱 $J$ 是定義在 $\Omega$ 上的 泛函 (functional)，記作 $J(x(t))$
======================

Comment:
1. 簡而言之，泛函 一詞即表示為由 函數空間 映射到 實數軸 上的函數 $J: \Omega \to \mathbb{R}$ 。
2. 再以下的討論中，集合 $\Omega$ 又稱為 泛函 $J$ 的 容許集 (admissible set)。


現取 $x_1, x \in \Omega$ 且 $\delta x := x_1 - x$ ，我們定義 關於 $\delta x$ 的 泛函增量 (increment) 如下
\[
\Delta J(\delta x)  := J(x_1) - J(x) =  J( x + \delta x) - J(x)
\]則由此 泛函增量，我們可以定義何謂泛函的變分。

======================
Definition: 泛函的變分
給定泛函 $J : \Omega \to \mathbb{R}$，若存在 一線性泛函 $L(x, \delta x)$ 使得泛函增量可被表為
\[
\Delta J(\delta x) = L(x, \delta x) + r(x, \delta x) \cdot | |\delta x||
\]其中 $r(x, \delta x)$ 為 其他高階剩餘項(remainder) 滿足 當 $| |\delta x|| \to 0 \Rightarrow r(x, \delta x) \to 0$，則我們稱上式中的 $L(x, \delta x)$ 為 $J(x)$ 的 變分 (variation)，記作 $\delta J :…

回憶在 凸分析 中，兩凸函數 $f_1, f_2$ 之合仍為 convex，且此特性可進一步推廣至有限函數和，無窮組函數和，甚至積分都對，此篇文章中，我們將針對 擬凸函數(quasiconvex function) 來檢驗上述性質。令 $X$ 為隨機變數，現令 函數 $f(X,K)$ 為 quasiconvex in $K$ almost surely，則我們想問對其取積分之後是否仍為 quasiconvex in $K$?，亦即 $E[ f(X, K) ]$ 是否仍為 quasiconvex in $K$?

再構造反例之前，我們先給出 quasiconvex 函數的定義：

=================
Definition: 我們稱 $f: dom(f) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 為 擬凸函數 (quasiconvex function) 若下列條件成立：
對任意 $ \alpha \in \mathbb{R}$，集合
\[
S_{\alpha} := \{x \in dom(f) : f(x) \leq \alpha \}
\] 為 convex 集。
=================


Comments:
1. Quasiconvex 在有些文獻中又稱為 unimodal。
2. 所謂的擬凸性質 (Quasiconvexity) 可視為是 凸性 (Convexity) 的推廣，關於 quasiconvex 函數更詳細的介紹，建議讀者參考 [1]，在此我們不做贅述。

現在我們可以著手回答一開始本篇文章所關心的問題：若 $f(X,K)$ 為 quasiconvex in $K$，是否取期望值 (積分)之後 $E[f(X,K)]$ 亦為 quasiconvex in $K$? 此答案是否定的，以下我們構造反例：

Counter Example: 令 $K \in [0,1]$ 且 $X$ 為隨機變數滿足 $X = 0 $ with probability $1/2$ 且 $X=1$ with probability $1/2$，取 $$
f(X,K) := (1 - X) K  - X K^2
$$ 則可知此函數 $f$ 為 quasiconvex in $K$ almost surely (WHY?)，在此我們繪製…

令 $X$ 為具有任意分佈 $f_X$ 的隨機變數 且我們將其支撐集 (support set) 記作 $\cal X$，考慮參數 $K \in [0,1]$ 與 函數 $g(X,K)$ 為對參數 $K$ 遞增函數 with probability one，我們想問當我們對該函數取期望值時，是否 $ E[g(X,K)] $是否仍為對 $K$ 遞增?

答案為肯定的，我們將其記錄如下



令 $X$ 為具有任意分佈 $f_X$ 且 其支撐集為 $\cal X$ 隨機變數，考慮參數 $K \in [0,1]$
=====================
Theorem: 函數 $g(X,K)$ 為對參數 $K$ 遞增 with probability one，則 $ E[g(X,K)] $ 仍為對 $K$ 遞增
=====================

Proof:
令 $K_1,K_2 \in [0,1]$ 且 $K_1 \geq K_2$，我們要證明
\[
E[g(X,K_1)] \geq E[g(X,K_2)]
\]現在觀察
\[\left\{ \begin{gathered}
  E[g(X,{K_1})] = \int_{\cal X} g (x,{K_1}){f_X}(x)dx; \hfill \\
  E[g(X,{K_2})] = \int_{\cal X} g (x,{K_2}){f_X}(x)dx \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]由於 $g(X,K)$ 為對參數 $K$ 遞增函數 with probability one，故可知對任意實現 $X=x$， $g(x,K_1) \geq g(x, K_2)$，又因為 分佈函數 $f_X$ 的非負性質，不難得知
\[
\int_{\cal X} g(x, K_1)f_X(x)dx \geq  \int_{\cal X} g(x, K_2)f_X(x)dx
\]亦即
\[
E[g(X,K_1)] \geq E[g(X,K_2)]
\]

這篇文章我們將討論基礎的投資組合理論中關於 效用函數 (Utility Function) 與其性質，建議讀者具備 基礎統計/機率關於期望值計算 與 一點點最佳化 的 能力可以較為有效率理解本文內容。

現在令 $V$ 表示 投資人在 "未來" 的持有資產 (為隨機變數)，則我們說 效用函數 為一函數，以下我們記作 $u : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，其設計目的在於使 投資人具有某種 "判準"(criterion) 使得可以透過 最大化效用函數的期望值 $E[u(V)]$ 來達成投資目標，亦即我們希望
\[
\sup E[u(V)] \;\;\;\; (*)
\]
讀者若對上述 $sup$ 符號不熟，可先想成 $max$ 即可。

注意到上述效用函數的定義十分抽象，還是沒有說明什麼事效用函數，故我們先回答下面兩個問題：
該如何選擇效用函數 $u(\cdot)$？效用函數有什麼種類？ 一般而言，在財務上，效用函數的選用是基於個人投資的喜好與風險容忍度以及整體金融環境所定。舉例而言，最簡單的效用函數為令 $u(x) := x$ ，則 由前述目標 $(*)$ 可知我們想要最大化期望資產，也就是
\[
sup E[V]
\]


以下為一些常見的效用函數
1. 對數 效用函數 $u(x) = \log (x)$ (Kelly 賭博理論，又稱 Logarithmic Growth Criterion)
2. 指數 效用函數 $u(x) = -e^{-ax}$ 且 $a>0$
3. 冪次 效用函數 $u(x) :=x^a$ 且 $0<a<1$
4. 二次 效用函數 $u(x) := x - ax^2$ 且 $0<a$ 與 $x < 1/(2a)$ (Markowitz 效率前緣，又稱 Mean-Variance Criterion)

Comments:
對效用函數額外加上常數或者乘上一個常數不改變不等式：亦即 若存在效用函數 $u$ 且兩個不同手邊資產 $V_1, V_2$ 使得
$$
E[u(V_1)] \le E[u(V_2)]
$$
則對任意常數 $a \in \mathbb{R}$ 與 $b>0$ ，利用期望值的線性性質，下列不等式仍成立：
\[
E[a + b u(V_1)]…

考慮二階線性非齊次微分方程
\[
L(y) := a_0 y'' + a_1y' + a_2y =f
\]其中 $a_0,a_1,a_2$ 為常數且 $f$ 為在某區間 $I$ 上有定義的任意函數，且 $L$ 為 linear operator。一般而言，求解二階線性非齊次 微分方程可透過 待定係數法 (Undetermined Coefficient Method)求解，然而此法僅適用於特定(常見)的外力函數 $f$，比如 $f= c t^k e^{mt}$ 其中 $c$ 為常數，$k$ 為非負整數，$m$ 為實數或者複數。但除此之外其他形式的 $f$，待定係數法並無法協助我們求解特解，故我們在此介紹一種更泛用的解法 稱作 變動參數法 (Variation of Parameter Method)來求解 二階 常係數 非齊次 微分方程 。

Comment:
此法事實上觀賞價值大於實用價值。因為對於任意高階 ODE 此法失效，但若讀者熟悉系統理論，可知道我們有更強大的工具來幫助我們求解 高階 ODE問題：亦即所謂狀態空間表示法 (State Space Representation)，可以將任意高階ODE降為 一階 ODE 系統方程，再透過線性系統理論進行直接求解。


以下我們直接進入主題，考慮二階線性非齊次微分方程
\[
L(y) := a_0 y'' + a_1y' + a_2y =f
\]
現在令 $\phi_1$ 與 $\phi_2$ 為對 $L(y) = 0$ 的一組解基底，且令
\[
\psi := u_1 \phi_1 + u_2 \phi_2
\]其中 $u_1, u_2$為待定函數。(注意，上式中的 $u_1, u_2$ 不為常數而是以 $t$ 為變數的函數！)

現在觀察
\[\begin{array}{l}
\psi  = {u_1}{\phi _1} + {u_2}{\phi _2}\\
\psi ' = {u_1}'{\phi _1} + {u_1}{\phi _1}' + {u_2}'{\phi _2} + {u_2}{\phi _2}'\\
\psi '' = {u_1}''{\phi _1} + {u_2}'&#…

首先回憶標準二階微分方程 (2nd ODE)可表為
\[
y'' = f(t,y',y'')
\]現在我們考慮上述方程的一類重要的子集：二階線性常係數 齊次微分方程 (2nd Order Linear Constant Coefficient Homogeneous Ordinary Differential Equation) ，該子集的方程一般可寫作
\[
y'' + py' + q y = 0,\;\;\;\; -\infty < t < \infty \;\;\;\;\; (\star)
\]其中 $p, q \in \mathbb{R}$。讀者可注意到 我們仍處在線性 ODE 的世界，亦即對 $y,y'$ 與 $y''$ 皆線性。我們的目標是要對上述 ODE 就進行求解，亦即要找到某函數 $\phi(t)$ 對 $t \in (-\infty, \infty)$ 都滿足 $(\star)$ 。

Comments: 讀者也許會對於上述 $(\star)$ 為何稱之為 $y'' = f(t,y'=,y')$ 的一類子集感到疑惑，在此我們邀請讀者仔細檢查 $(\star)$，應可發現若令
\[
f(t,y,y') := -(py' + q y )
\] 則確實可看出 $(\star)$ 式 具有 標準二階 ODE 之形式。

以下定理給了我們一個重要的結果來界定 解的形式 與條件：

====================
Theorem: 令 $\phi_1(t)$ 與 $\phi_2(t)$ 在 $t \in (-\infty, \infty)$ 為對下列 二階微分方程的 IVP 問題：
\[
y'' + p y' + qy = 0, \;\;\;\; y(t_0) = y_0;\;\;\;\; y'(t_0) = v_0
\]的兩組解。則
(1) 對任意常數 $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$ 其線性組合 $c_1 \phi_1(t) + c_2 \phi_2(t)$ 亦為上述ODE之解。
(2) 除此之外，若下列行列式函數
\[\Delta \left[ {{\phi…

考慮線性非時變 (Linear Time-Invariant, LTI)系統利用狀態空間表示：
\[
{\bf \dot x} = A {\bf x} + B {\bf u}
\] 回憶在大學部自動控制課程中，我們知道 LTI 系統穩定 的 充分必要條件 為系統矩陣 $A$ 之特徵值具有負實部 （或者等價論述為 極點 pole 落在 複數平面的左半面）。現在我們想問若 系統為 線性時變 (Linear Time-Varying, LTV)系統是否此條件依然成立？

答案是否定的，以下為一個極為出色的反例：考慮線性時變系統 ${\bf \dot x} = A(t) {\bf x} $ 其中
\[A\left( t \right): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{{e^{2t}}}\\
0&{ - 1}
\end{array}} \right]
\] 且給定初始狀態為 $x_1(0) = x_2(0)=1$ 則由於此系統 $A(t)$ 矩陣為三角矩陣，其特徵值為對角線元素，亦即 $\lambda_{1,2} = -1$，具有負實部。然而，若我們求解此 LTV 系統，亦即觀察
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{{e^{2t}}}\\
0&{ - 1}
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{x_1}\left( t \right)\\
{x_2}\left( t \right)
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
 - {x_1}\left( t \right) + {e^{2t}}{x_2}\left( t \right)\\
 - {x_2}\left( t \right)
\end{array} \right]\]故我們可首先解得
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\dot x}_2}\left( t \right) =  - {x_2}\left( t \right)}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow {x_…

以下我們給出凸分析中 常用的函數，稱作 支撐函數 (Support Function)：

=====================
Definition: Support Function
令 $\mathcal{X}$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的任意緊緻集合 (compact set)，我們稱函數 $h_{\mathcal{X}}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \bigcup \{+\infty\}$ 為 support function of $\cal X$ 若下列條件成立：對任意 $ {\bf y} \in \mathbb{R}^n$
\[
h_{\cal X}( {\bf y }) := \sup_{ {\bf x} \in \mathcal{X}} {\bf y}^T {\bf x}
\]=====================

Comments:
1. $\mathbb{R}^n$ 空間中，緊緻集合(compact set) 等價 有界封閉集 (closed and bounded set)


以下我們有一個極為重要的結果：任意集合的支撐函數 與 該集合的凸包 (convex hull) 之支撐函數相等。令 $\cal X$ 為任意集合，以下我們令 $conv( {\mathcal{X}})$ 為該集合 $\cal X$ 的凸包。對凸包定義不熟悉的讀者可先行閱讀： [凸分析] 凸集合 與 凸包 。

======================
Claim:
令 $conv ({\mathcal {X}})$ 為緊緻集 $\cal X$ 的 convex hull 則
\[
h_{\cal X} ({\bf y}) = h_{conv({\mathcal{X} })} ({\bf y})
\]=====================

Proof: 
給定任意 $\bf y$$\in \mathbb{R}^n$，我們需證明 $ h_{\cal X} ({\bf y}) \le h_{conv({\mathcal{X} })} ({\bf y}) $ 與 $ h_{\cal X} ({\bf y}) \ge h_{conv({\mathcal{X} })} ({\bf y}) $

故現在我們首先證明 $ h_{\cal …

考慮以下初始值問題
\[
\frac{dy}{dt} = ky - cy^2, \;\; y(0) = A \in \mathbb{R}
\]上述微分方程用以描述 具備外在競爭關係 $(-cy^2)$ 的 (人口)成長模型 $(ky)$。一般稱之為 Logistic Equation of Population Growth

Comments:
1. 上述 Logistic Equation 具備 $y' = f(y)$ 形式，其中 $f(y) := ky - cy^2$ ，亦即函數 $f$ 僅與 $y$ 有關而無直接與時間 $t$相關，我們稱此類微分方程為 autonomous equation。


現在我們開始求解 Logistic Equation

Solution:
令 $\phi(t) \neq 0$ 為上述 IVP 在某區間 $I$ 包含 $t=0$ 的解，則在此區間 $I$ 上，我們有
\[
\phi '\left( t \right) = k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right) \;\;\;\;\; (*)
\]注意到儘管上式為非線性，但其具備分離變數形式，故若
\[\begin{array}{l}
k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right) \ne 0\\
 \Rightarrow \left( {k - c\phi \left( t \right)} \right)\phi \left( t \right) \ne 0
\end{array}
\]亦即 $\phi \left( t \right) \ne 0 $ 且 ${k - c\phi \left( t \right)} \neq 0$(或者等價 $\phi(t) \neq k/c$) 則我們可以將 $(*)$ 改寫為
\[\begin{array}{l}
\phi '\left( t \right) = k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right)\\
 \Rightarrow \frac{{\phi '\left( t \right)}}{{k\phi \left( t \righ…

Definition: Convex Set
我們說一個集合 $C \subset \mathbb{R}^k$ 為 凸集合 ( convex set )若下列條件成立：
給定任意 $c^1, c^2 \in C$ 且 $\lambda \in [0,1]$ 則 $\lambda c^1 + (1-\lambda)c^2 \in C$


另外我們稱 $\lambda c^1 + (1-\lambda)c^2 $ 為 $c^1, c^2$ 所成的凸組合 ( convex combination )

Comments:
1. 事實上 凸組合 即為 線性組合(linear combination) 但係數必須為非負，且係數之合必須為 $1$
2. 上述集合 $C$ 可為向量空間。
3. 上述集合 $C$ 若為空集合，亦即 $C = \emptyset$ 則 $C$ 視為 convex set 。
4.  一般而言，凸組合可推廣至如下定義：我們稱 $c^1,...,c^m$ 的凸組合為
\[
\lambda_1 c^1 + ... + \lambda_m c^m
\]其中 $\lambda_1 + ... + \lambda_m = 1$。在應用數學中，我們可將 $\lambda_i$ 視為 機率 或者某向量 $c^i $ 佔整體的成分比率。


Example:
1. $\mathbb{R}^n$ 空間為 convex set
2. 過點 $x_0 \in \mathbb{R}^n$，延方向 $d \in \mathbb{R}^n$ 的直線
\[
l := \{x \in \mathbb{R}^n: x = x_0 + t d, \;\; t \in \mathbb{R}\}
\]

以下為  convex set 的一些基本但常用的性質

=================
Proposition: 令 $V$ 為向量空間，且 $K$ 與 $G$ 為 $V$ 上的兩 convex sets，則
1. 對任意 $\alpha \in \mathbb{R}$ ， $\alpha K := \{x: x=\alpha k, k\in K\}$ 為 convex set。
2. $K+G$ 為 convex set，其中
\[
K+G := \{k+g: k \in K, g\in G\}
\…