這次要跟大家介紹的是 線性化 (Linearization) 的概念，讀者建議須先具備基本 Taylor Series 概念，如果不熟悉的讀者可先參閱 [微積分] 泰勒展開式 與 泰勒級數 。
為何要做線性化?
其實線性化的動機很簡單，主要是因為一般在分析動態系統的時候，大部分系統行為都是呈現非線性(EX: 電路系統(二極體 I/V curve)，倒單擺、撓性機構、機器人、生物細胞、金融模型...)，但這些非線性行為會有一個大的困難，就是難以直接求解其動態行為。且發展成熟的線性系統理論沒有辦法(有效的)應用在上面，但如果能夠透過一些假設/機制，我們可以把原本非線性的系統轉成線性系統，如此一來原本沒辦法使用的線性系統理論便可以派上用場!!
如何做線性化?
至於實際如何做到對任意 非線性函數 (e.g., $\sin, \cos, \exp, x^n$, ...)線性化呢? 簡單來說，就是採用切線 (微分) 的概念，如果我們對關心的某一點對該點取導數，則我們可以得到一條對該點的切線，此切線可以在某種程度上用來近似 該點附近的函數行為。
https://controls.engin.umich.edu/wiki/index.php/LinearizingODEs
----- 以下進入正題 ----
若用數學來描述非線性的系統可以寫成
\[
\dot x(t) = f(x)
\]其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 稱作系統狀態(state variable) (這邊考慮 $n$ 維空間，故有 $n$ 個系統狀態變數)； $\dot x(t)$ 為系統狀態的一階導數； $f$ 為用以描述動態系統的任意函數
在此我們考慮系統狀態為 $n$ 階。意思就是有 $n$ 個不同的系統狀態，記做 $x \in \mathbb{R}^n$
在介紹線性化之前，我們得先介紹 "平衡點(equilibrium point)"：
=====================
Definition: Equilibrium point
若 $f(\bar{x})=0$ ，則系統狀態 $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ 被稱作 平衡點(equilibrium point)。
=====================
Comments
由上述定義可以推知…
為何要做線性化?
其實線性化的動機很簡單，主要是因為一般在分析動態系統的時候，大部分系統行為都是呈現非線性(EX: 電路系統(二極體 I/V curve)，倒單擺、撓性機構、機器人、生物細胞、金融模型...)，但這些非線性行為會有一個大的困難，就是難以直接求解其動態行為。且發展成熟的線性系統理論沒有辦法(有效的)應用在上面，但如果能夠透過一些假設/機制，我們可以把原本非線性的系統轉成線性系統，如此一來原本沒辦法使用的線性系統理論便可以派上用場!!
如何做線性化?
至於實際如何做到對任意 非線性函數 (e.g., $\sin, \cos, \exp, x^n$, ...)線性化呢? 簡單來說，就是採用切線 (微分) 的概念，如果我們對關心的某一點對該點取導數，則我們可以得到一條對該點的切線，此切線可以在某種程度上用來近似 該點附近的函數行為。
https://controls.engin.umich.edu/wiki/index.php/LinearizingODEs
----- 以下進入正題 ----
若用數學來描述非線性的系統可以寫成
\[
\dot x(t) = f(x)
\]其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 稱作系統狀態(state variable) (這邊考慮 $n$ 維空間，故有 $n$ 個系統狀態變數)； $\dot x(t)$ 為系統狀態的一階導數； $f$ 為用以描述動態系統的任意函數
在此我們考慮系統狀態為 $n$ 階。意思就是有 $n$ 個不同的系統狀態，記做 $x \in \mathbb{R}^n$
在介紹線性化之前，我們得先介紹 "平衡點(equilibrium point)"：
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Definition: Equilibrium point
若 $f(\bar{x})=0$ ，則系統狀態 $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ 被稱作 平衡點(equilibrium point)。
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由上述定義可以推知…