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[機率論] 淺論 弱大數法則

以下我們討論一些關於 弱大數法則(Weak Law of Large Numbers, WLLN) 的結果,首先介紹 一組隨機變數 數列 的 機率收斂  (Convergence in Probability)

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Definition: Convergence in Probability
令 $Y_n$ 為一組隨機變數 sequence,我們說 $Y_n$ converges to $Y$ in probability 若下列條件成立:對任意 $\varepsilon >0$
\[
P(|Y_n - Y| > \varepsilon) \rightarrow 0 \;\; \text{ as  $n \rightarrow \infty$}
\]=============================

Comments:
1. 上述定義等價為
\[
P(|Y_n - Y| \leq \varepsilon) \rightarrow 1 \;\; \text{ as  $n \rightarrow \infty$}
\]
2. 上述定義中 $Y_n \to^P Y$ 的 $Y$ 可為隨機變數或者為常數。
3. 機率收斂在 機率論與隨機過程,以及 統計理論中 扮演重要角色,比如機率收斂在統計中等價稱為 consistent estimator,在此不做贅述。




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Definition: Uncorrelated Random Variables 接著再回憶我們說一組隨機變數 $X_i, \; i \in \mathbb{N}$ 且 $E [X_i^2] <\infty$ 為 uncorrelated 若下列條件成立:當 $i \neq j$
\[
E[X_i X_j] = E[X_i] E[X_j]
\]============================

現在我們看個 uncorrelated 隨機變數的結果

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Theorem:
令 $X_1, X_2,...X_n$ 為 uncorrelated 且 $E[X_i^2] < \infty$ 則
\[
var(X_1 + …