考慮 $V$ 為 $n$ 維向量空間,且 ${\bf v} \in V$。現在考慮兩組 有序基底 (ordered basis) \[\begin{array}{l} S: = \{ {{\bf{v}}_1},{{\bf{v}}_2},...,{{\bf{v}}_n}\} \\ T: = \{ {{\bf{w}}_1},{{\bf{w}}_2},...,{{\bf{w}}_n}\} \end{array}\] 則 我們可將 ${\bf v}$ 用上述有序基底做線性組合唯一表示,比如說 \[ {\bf v} = c_1 { {\bf w}_1} + ... c_n {\bf w}_n \]且其對應於 $T$ 基底的 座標向量 (coordinate vector) 與 對 $S$ 基底的 coordinate vector 我們定義如下 \[{\left[ {\bf{v}} \right]_T} := \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{c_1}}\\ {{c_2}}\\ \vdots \\ {{c_n}} \end{array}} \right]; \;\;{[{\bf{v}}]_S} := \left[ \begin{array}{l} {a_1}\\ {a_2}\\ \vdots \\ {a_n} \end{array} \right] \]注意到事實上 上述 對 $T$ 基底的 coordinate vector 可看成是函數,比如說令 $L: V \to \mathbb{R}^n$ 滿足 \[ L({\bf v}) = [{\bf v}]_T \]同理,對 $S$ 基底的 coordinate vector 令 $L': V \to \mathbb{R}^n$ 滿足 \[ L'({\bf v}) = [{\bf v}]_S \] Comment: 1. 上述 $L, L'$ 統稱為 coordinate mapping 2. Coordinate mapping 為 bijective linear transformation 或稱 isomorphism。 現在若我們想建構 對於 $S$ 基底的座標向量 與 $T$ 基底座標向
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya