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目前顯示的是 十月, 2015的文章

[線性代數] 座標轉換矩陣

考慮 $V$ 為 $n$ 維向量空間,且 ${\bf v} \in V$。現在考慮兩組 有序基底 (ordered basis)
\[\begin{array}{l} S: = \{ {{\bf{v}}_1},{{\bf{v}}_2},...,{{\bf{v}}_n}\} \\ T: = \{ {{\bf{w}}_1},{{\bf{w}}_2},...,{{\bf{w}}_n}\} \end{array}\] 則 我們可將 ${\bf v}$ 用上述有序基底做線性組合唯一表示,比如說 \[
{\bf v} = c_1 { {\bf w}_1} + ... c_n {\bf w}_n
\]且其對應於  $T$ 基底的 座標向量 (coordinate vector) 與 對 $S$ 基底的 coordinate vector 我們定義如下  \[{\left[ {\bf{v}} \right]_T} := \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{c_1}}\\
{{c_2}}\\
 \vdots \\
{{c_n}}
\end{array}} \right]; \;\;{[{\bf{v}}]_S} := \left[ \begin{array}{l}
{a_1}\\
{a_2}\\
 \vdots \\
{a_n}
\end{array} \right]
\]注意到事實上 上述 對 $T$ 基底的 coordinate vector 可看成是函數,比如說令 $L: V \to \mathbb{R}^n$ 滿足
\[
L({\bf v}) = [{\bf v}]_T
\]同理,對 $S$ 基底的 coordinate vector 令 $L': V \to \mathbb{R}^n$ 滿足
\[
L'({\bf v}) = [{\bf v}]_S
\]
Comment:
1. 上述 $L, L'$ 統稱為 coordinate mapping
2. Coordinate mapping 為 bijective linear transformation 或稱 isomorphism。

現在若我們想建構 對於 $S$ 基底的座標向量 與 $T$ 基底座標向量之間兩者的關係,利用  coordinate mapping …

[線性代數] 伴隨矩陣 $adj(A)$ 的一些性質

給定 $n \times n$ 的非奇異方陣 $A$,則下列性質成立
Claim: $adj A$ 為非奇異矩陣
Proof: 由於 $A$ 為 nonsingular,我們有
\[
A^{-1} = \frac{1}{detA} adj (A) \]
注意到等號左方 $A^{-1}$ 亦為 nonsingular (why? 由 $A$ 為 nonsingular 的定義出發,我們可知$A A^{-1} = I$ 等價說明 $A^{-1}$ 為 nonsingular),且由於 $det A$ 僅為常數,故 $adj A$ 必定為 nonsingular。 $\square$

Claim: $\det (adj A) = (\det A)^{n-1}$
Proof: 由 $A^{-1}$ 可知
\[\begin{array}{l}
{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow \left( {\det A} \right)\left( {{A^{ - 1}}} \right) = adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow \det \left( {\left( {\det A} \right)\left( {{A^{ - 1}}} \right)} \right) = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^n}\det \left( {{A^{ - 1}}} \right) = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^n}\frac{1}{{\det A}} = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^{n - 1}} = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)
\end{array}\]


Claim: $(adj A)^{-1} = adj (A^…

[測度論] 淺論 Ring 與 Algebra 及其性質 (0)

令 $X$ 為一集合,且 $\mathcal{P}(X)$ 表示為 $X$ 的 Power Set。

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Definition: 我們稱 $R \subset \mathcal{P}(X)$ 為一個 ring 若下列條件成立
1. $\emptyset \in R$
2. 若 $A,B \in R$ 則 $A\setminus B \in R$
3. 若 $A, B \in R$ 則 $A \cup B \in R$
================
以下我們看幾個 Ring 的性質:

令 $R$ 為一個 ring
=========
Property 1: 若 $A_1,...,A_n \in R$ 則 $\cup_{i=1}^n A_i \in R$
Proof:
由 $R$ 定義 (3) 可知 若 $A_1, A_2 \in R \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in R$ ,故透過數學歸納法,假定 $A_1,...,A_n \in R \Rightarrow \cup_{i=1}^n A_i \in R$ 我們要證明
\[
A_1,...,A_n, A_{n+1} \in R \Rightarrow \cup_{i=1}^{n+1} A_i \in R
\]故 令 $B := \cup_{i=1}^n A_i $ 則
\[
\cup_{i=1}^{n+1} A_i  = B\cup A_{n+1}
\]由於 $A_{n+1} \in R$ ,利用 $R$ 的定義 (3) 可知 $B \cup A_{n+1} \in R$ 故得證。 $\square$

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Property 2: 若 $A, B \in R $ 則 $A \cap B \in R$
Proof:
注意到 $A \cap B = A \setminus (A\setminus B)$ ,又因為 $A \in R$ 且 $A\setminus B \in R$  故利用 $R$ 的定義 (2) 可知
\[
A \setminus (A\setminus B) \in R \;\;\;\; \square
\]

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Property 3: 若 $A_1,...,A_n \in R$ 則 $\cap_{i=1}^n A_i \in R$

[線性代數] 應用行列式計算三角形面積

考慮 $\mathbb{R}^2$空間 中的 頂點分別為 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 與 $(x_3,y_3)$ 的三角形 如下圖所示



則我們可以計算此三角形 $P_1P_2P_3$ 面積為

三角形$P_1P_2P_3$ 面積 = 梯形$AP_1P_2B$ 的面積  + 梯形 $BP_2P_3C$ 的面積 - 梯形 $A P_1 P_3 C$的面積

現在回憶 國/高中數學,梯形面積 $=$(上底 $+$ 下底) $\times$ 高 $/$ 2,故我們有
\[\begin{array}{l}
Area\left( {{P_1}{P_2}{P_3}} \right) = Area\left( {A{P_1}{P_2}B} \right) + Area\left( {B{P_2}{P_3}C} \right) - Area\left( {A{P_1}{P_3}C} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{y_3} + {y_2}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{y_3} + {y_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}\left( {{x_1}{y_3} - {x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} - {x_2}{y_3} + {x_3}{y_2} - {x_3}{y_1}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} =  - \frac{1}{2}\left( {\left( {{x_2}{y_3} - {x_3}{y_2}} \right) - \left( {{x_1}{y_3} - {x_3}{y_1}} \r…

[轉載] How to Study Math? -Paul R. Halmos

Don't just read it; fight it!Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?

--- Paul R. Halmos