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目前顯示的是 四月, 2010的文章

[衍生商品] 淺談 Black-Scholes Model 的性質 (0)

這次要跟大家介紹衍生商品市場的 Black-Scholes Model (B-S model),此 Formula 是由 Professor Fisher Black, Myron Scholes 與 Robert Merton 在選擇權定價領域的重大突破,此模型亦指引了衍生商品該如何透過無套利機會來獲得合理價格的研究大門。

事實上, B-S model 本質上是用來作為進行 歐式選擇權 (European Option) 定價公式。

在介紹之前,我們需先知道使用 B-S model 的一些假設:

對於股價分布的假設
股價服從連續複利 Log-normal 分布波動度(Volatility)為已知常數未來的股息已知對於市場的假設 無交易手續費用、無稅收證卷交易為連續進行短期無風險利率 $r$ 為已知常數可以基於無風險利率執行 short sell or borrow不存在無風險套利機會 Comment:
1. 股價的 Log-normal 分布假設: (此 Comment 需要隨機過程與隨機分析的背景知識,有興趣的讀者請參考BLOG中相關隨機分析的文章)

考慮股價模型為 Geometric Brownian Motion,故可寫做下列隨機微分方程 SDE
\[
dS_t := \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t, \ 0 \leq t \leq T
\]其中 $S_t$ 為時刻 $t$ 的股價, $\mu :=$ 股價每年的收益率期望值 (或稱 drift rate),$\sigma:=$ 股價每年的波動度 (volatility),$B_t$ 為標準布朗運動。注意到這邊我們假設 $\mu, \sigma$ 為固定常數。

上述隨機微分方程可解得 (Proof: omitted,有興趣讀者請參閱
[隨機分析] How to solve SDE practically (4) - Geometric Brownian Motion
\[
S_t = S_0 \exp \left\{ {\left( {\mu  - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}} \right)t + \sigma {B_t}} \right\}
\]改寫上式
\[ \Rightarrow \ln \frac{{{S_t}}}{{{S_0}}} = \left( {\mu…

[隨機分析] Girsanov Theory (0) - 測度變換

一般而言,我們都是在固定的機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 進行各種討論,現在我們想考慮一個問題就是如果我們現在把 機率測度 $P$ 改成另一個機率測度 $Q$ 會發生甚麼事情,此問題的主要結果由 Girsanov 做出進一步發展。


那麼,在談變換之前,必定要先問一個問題就是? 變換測度的動機是甚麼? 有沒有什麼實際的應用使得我們需要進行變換測度?

在財務上,很多時候我們需要 風險中立測度(Risk-netural measure),此測度 與原本的機率測度不同,故我們需要找到一個方法來幫助我們轉換原本的 機率測度 到 風險中立測度。那麼談變換之前,我們需要一些定義:

===========================
Definition: 兩測度間的絕對連續性 (Q is absolutely continuous w.r.t. P: Q<<P )
給定兩個機率測度 $P, Q$ 在一個 measurable space $(\Omega, \mathcal{F})$,,我們稱
機率測度 $Q$ 對 機率測度 $P$ 而言為 絕對連續 (Absolutely continuous),記做 $Q << P$ ,若下面條件成立:對任意 $ A \in \mathcal{F}$ 而言,
\[
P(A) =0 \Rightarrow Q(A) =0
\]===========================

Comment:
Reader might think that the notation $<<$ is confusing. I suggest you to follow the double-arrow direction: if we say $P << Q$ the arrow direction is $<<$ this reminds me that for all set $A \in \mathcal{F}$, $Q(A)=0 \Rightarrow P(A)=0$ (Follow the direction of double arrows !)


===========================
Definition: 等價測度 (Equivalenc…

[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念:

Norm:一般翻譯成範數
(在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣),

也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的:
比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "!

但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說
\[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T
\]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$???
再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]
\],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。

也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。

故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來)

==================
Definition: Norm
考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質:

(a) $||v|| \geq 0$, $||v||=…

[微分方程] 積分因子法求解線性 ODE

這次要介紹的是一個重要的方法求解 基本線性微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)。亦即所謂的 積分因子法 (Integration Factor Method)

想法:透過構造出積分因子 (Integrating Faction) 使得我們可以透過 微分鏈鎖律(chain rule) 將 微分方程 改寫為 兩個函數的乘積取導數 的形式以方便求解。

首先考慮一個 線性ODE 具有如下形式 (如果可以湊成如下形式則即可使用 積分因子法進行求解)
\[
y'(t) + a(t) y(t) = g(t) \ \ \ \ (*)
\]解:

定義積分因子:
\[
e^{\int_0^t a(s)ds}
\] 對 $(*)$ 兩邊同乘積分因子我們得到
\[\begin{array}{l}
y'(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}} + y(t)a(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}} = g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}\\
 \Rightarrow \frac{d}{{dt}}\left( {y(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} \right) = g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}
\end{array}
\]
對兩邊同取積分可得
\[\begin{array}{l}
\int_0^t {\frac{d}{{dt}}\left( {y(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} \right)} ds = \int_0^t {g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} ds\\
 \Rightarrow y(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}} - y\left( 0 \right) = \int_0^t {g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} ds\\
 \Rightarrow y(t) = y\left( 0 \right){e^{ - \int_0^t a (s)ds}} + {e^{ - \int_0^t a (s)ds}} \cdot \left( {\i…

[微分方程] Gronwall's inequality

這次是介紹一個重要的積分不等式 (格朗沃爾不等式) Gronwall's inequality;此不等式提出了對於滿足某(微)積分方程的函數,有相應的(微)積分不等式。

此不等式在微分方程 與 隨機微分方程的的求解中扮演重要的腳色。是十分強大的數學工具。

========================
FACT: (Gronwall's inequality)
考慮 $t \in [0,T]$,且 $g \in L^1[0,T]$,若 $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ ,則
\[
g(t) \leq B \cdot e^{C (t-t_0)}
\]========================

Proof
設 $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ ,我們需要證明
\[
g(t) \leq B \cdot e^{C (t-t_0)}
\]已知
\[\begin{array}{l}
\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) =  - C{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds}  + {e^{ - Ct}}g\left( t \right)\\
 \Rightarrow \frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) = {e^{ - Ct}}\left[ {g\left( t \right) - C\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right]
\end{array}
\]由我們的假設  $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ 可知
\[\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) \le B \cdot {e^{ - Ct}}
\]兩邊同積分,可得

[衍生商品] Futures and Forward Pricing - No-Arbitrage Pricing Examples

這次要介紹 期貨與遠期契約的定價:

首先定義需要用到的符號:

$S_0:=$ 當前股價 (at time $0$)
$S_T:=$ 到期股價 (at time $T$)
$F_0:=$ 當前期貨價格(at time $0$)
$F_T:=$ 到期期貨價格 (at time $T$)
$T :=$ 到期時間 (以年計算)
$r:=$ 無風險年利率 (連續複利)
$D:=$ 配發股息
$q:=$ 配法股息利率 (連續複利)

無套利機會 (No-Arbitrage Opportunity ) 的遠期契約價格
\[
F_0^* = S_0 e^{(r-q)T}
\]上式等價
\[
F_0^* e^{rT}= S_0 -PV(D) + PV(Cost)
\]

現在考慮下面例子:

Example 1
考慮一個六個月股票遠期契約,且配發年股息 $3.96 \%$,當前股價為 $25$,無風險年利率為 $10 \%$,且股息與利率皆為連續複利。

(a) 試求 無套利價格 $F_0^*=$?
(b) 假設 $F_0=27$,是否存在套利機會?

Solution (a)
首先改寫已知資訊
\[
T=6/12, q=0.0396, S_0=25, r=0.1
\]計算無套利價格
\[
F_0^* = S_0 e^{(r-q)T} = 25 e^{(0.1-0.0396) \times \frac{6}{12}} = 25.766
\]

Solution (b)
由於 $F_0 = 27 > F_0^* = 25.766$,故存在套利機會 (存在買低賣高的機會):
也就是說 現階段的 遠期契約價格高於合理價格,我們可以賣出 (Short) 此遠期契約,並透過借款買入當前股票達成套利
\[\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration}\\
\hline
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&{ + {F_0} - {S_T}}\\
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}…