跳到主要內容

發表文章

目前顯示的是 五月, 2014的文章

[機率論] Martingale (2)- Martingale Convergence Theorem

假設 $X_n, n\ge 0 $ 為 submartingale。令 $a<b$ 且 $N_0 := -1$ 與 對任意 $k \ge 1$ 我們定義 stopping time 如下:
\[\begin{array}{l}
{N_{2k - 1}}: = \inf \left\{ {m > {N_{2k - 2}}:{X_m} \le a} \right\}\\
{N_{2k}}: = \inf \left\{ {m > {N_{2k - 1}}:{X_m} \ge b} \right\}
\end{array}
\] 且我們觀察以下事件
\[\begin{array}{l}
\{ {N_{2k - 1}} < m \le {N_{2k}}\}  = \{ {N_{2k - 1}} < m\}  \cap \{ m \le {N_{2k}}\} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \underbrace {\{ {N_{2k - 1}} \le m - 1\} }_{ \in {F_{m - 1}}} \cap \underbrace {{{\{ {N_{2k}} \le m - 1\} }^c}}_{ \in {F_{m - 1}}} \in {F_{m - 1}}
\end{array}\]

==============
Fact: 若 $X_m, m\ge 0$ 為 submartingale 則
\[
(b-a)EU_n \le E(X_n -a)^+ - E(X_0 - a)^+
\]其中 ${U_n}: = \sup \left\{ {k:{N_{2k}} \le n} \right\}$ 表示在 時間$n$ 之前 往上穿越的個數
==============
Proof: omitted.

==========
Theorem: Martingale Convergence Theorem
若 $X_n$ 為 submartingale 滿足 $\sup E[X_n^+] < \infty$ 則存在 $X$ 使得 $X_n \to X$ almost su…

[機率論] 淺論 Martingale (1) - 何時能 贏 or 輸掉賭局?

(NOTE: 此文為數學機率論相關文章,並無任何介紹任何賭博手法/訣竅...)

回憶前篇文章 [機率論] 淺論 Martingale (0) - 定義與性質 提及的

考慮一個硬派賭徒參加一場丟擲硬幣賭錢的遊戲,且若硬幣正面向上,則賭徒會贏得下注金並且停止遊戲 (take money and run),反之,若硬幣反面向上,則賭徒輸掉下注金但此時因為賭徒並不甘心..所以會將 賭注加倍 再繼續玩。持續 $n$ 次這樣的遊戲。那麼這位賭徒宣稱靠這套 "必勝法" 最後可以贏得一筆大錢 (至少不賠本);因為只要過程中贏得一場就可以獲得相對的加倍下注金!!

此套賭徒所宣稱的 必勝法在數學上稱做 Martingale System;我們將會在此篇文章檢驗此 Martingale 加倍賭注策略,看看之前賭徒宣稱的必勝法是否有效。

不過介紹之前需要再引入一些術語:

===========
Definition: Predictable Sequence
令 $\mathcal{F}_n, n \ge 0$ 為 Filtration , 我們稱 $H_n, n\ge 1$ 為 Predictable sequence 若下列條件成立: 若 $H_n \in \mathcal{F}_{n-1}, \; \forall n \ge 1$ (亦即 $H_n$ 為 $\mathcal{F}_{n-1}$ measurable)
===========

現在我們再次考慮 投擲銅板的賭博:若銅板正面則賭徒贏得 1元,若顯示為銅板背面則賭徒輸掉 1元。令 $X_n$ 為在 $n$ 次時賭徒的 淨收入/損失。則我們可以定義 在第 $n$ 次賭博時賭徒 "總" 贏/輸錢的量
\[{\left( {H \cdot X} \right)_n}: = \sum\limits_{m = 1}^n {{H_m}\left( {{X_m} - {X_{m - 1}}} \right)}  = \sum\limits_{m = 1}^n {{H_m}{\xi _m}}
\]其中 $\xi_n := X_n - X_{n-1}$ 表示第 $n$ 次賭博到底是贏 或者 輸 的單次金額; $H_n$ 則表示成 第 $n$ 次賭博 時候 賭徒所下注的賭金量。

Comment:
上式 $(…

[機率論] 淺論 Martingale (0) - 定義與性質

關於 Martingale Theory (中文譯作 鞅論),原本 Martingale 指的是套在馬身上的韁繩
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Martingale_(PSF).png

在機率論中,Martingale 泛指一類特定的隨機過程。起初的想法如下:

考慮一個硬派賭徒參加一場丟擲硬幣賭錢的遊戲:若硬幣正面向上,則賭徒會贏得下注金並且停止遊戲 (take money and run),反之,若硬幣反面向上,則賭徒輸掉下注金。

但此時因為賭徒並不甘心..所以他採取的策略是把 賭注加倍 再繼續玩。持續 $n$ 次這樣的遊戲。那麼這位賭徒宣稱靠這套 "必勝法" 最後可以 贏得一筆大錢 or 至少不輸;因為只要過程中贏得一場就可以獲得相對的加倍下注金!! (但此法真的可行嗎? 我們會在後續在做介紹)


現在我們引入嚴格定義:

=================
Definition: Filtration Adaptedness
令 $\mathcal{F}_n$ 為 filtration (亦即 $\sigma$-algebra $\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1}, \; \forall n$) 則我們說 $X_n$ 為 adapted to $\mathcal{F}_n$ 若 $X_n $ 為 $\mathcal{F}_n$-measurable。

我們說一個 random sequence $\{X_n\}$ 為 Martingale with respect to $\{\mathcal{F}_n\}$若下列條件成立:
1. 可積條件:$E|X_n| < \infty$
2. 可測條件:$X_n$ 為 adaptedto $\mathcal{F}_n$ ($\forall n$, $X_n $ 為 $\mathcal{F}_n$-measurable)
3. Martingale 性質:對任意 $n$,$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] = X_n$
=================

Comment:
若上述定義中的 Martingale 性質 的 $=$ 號 換成 $\le$ 則我們稱 $\{X_n\}$ 為 supe…