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目前顯示的是 四月, 2011的文章

[衍生商品] 希臘值與動態避險 (0) - Delta and Delta Neutral

這次要介紹的是財務中的 希臘值 Greek Letters:
\[ \Delta, \Gamma, \Theta, \rho, \nu
\],上述的這些希臘字母被用作財務中衍生商品的 避險 (Hedging) 的指標。

那麼問題是這些希臘字母到底如何跟避險扯上關係呢? 這必須要回歸 Black-Scholes Formula:
\[\left\{ \begin{array}{l}
C = S{e^{ - qT}}N \left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N \left( {{d_2}} \right)\\
P = K{e^{ - r(T)}}N \left( { - {d_2}} \right) - S{e^{ - qT}}N \left( { - {d_1}} \right)
\end{array} \right.\]
其中 $C$ 為 Call option 價格,$P$ 為 Put Option 價格, $N(\cdot)$ 為 Standard Normal Cumulative distribution function (CDF),且\[\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} = \frac{{\ln (S/K) + (r - q + \frac{1}{2}{\sigma ^2})(T)}}{{\sigma \sqrt T }}\\
{d_2} = {d_1} - \sigma \sqrt T
\end{array} \right.\]

觀察上述 Black-Scholes Formula,我們知道 選擇權價格 $C, P$ 可表為一個多變數的函數
\[
f(S,K,T,r,q,\sigma)
\]其中 $S$ 為現時股價,$K$ 為執行價格, $T$ 為到期時間, $r$ 為連續複利的無風險年利率, $q$ 為連續複利的年股息,$\sigma$ 為 波動度。


想法:對於 B-S formula 所求得的 $f(S,K,T,r,q,\sigma)$ 對特定參數的變動,我們用一個特定希臘字母來表示他,這些變動用來測量不同的風險:

這邊先介紹 $\Delta$
\[
\Delta := \frac{\partial f}{ \partial S}
\]亦即表示為選擇權價格對股價的變化率。(由於其為一階…

[線性規劃] Minimax Problem in LP format

考慮如下 minimax (non-cooperative game)問題:

\[\begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_x \mathop {\max }\limits_{i = 1,...,N} c_i^Tx\\
s.t.\\
Ax \le b
\end{array}
\]注意到上式 $\displaystyle \mathop {\max }\limits_{i = 1,...,N} c_i^Tx$ 為 凸函數 (Convex function) WHY?。故可求解最佳解(min)時 其Local minimum = global minimum。

現在問題是上述的 minimax 問題該如何將其改寫成LP問題呢?

方法如下:

首先引入一個新的變數 $z$ 並考慮如下 新的 LP問題:
\[\begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_{x,z} z\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
Ax \le b\\
c_i^Tx \le z,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\forall i = 1,...,N
\end{array} \right.
\end{array}
\] 則現在此LP問題求解 等價 求解原本的minimax問題。亦即兩者間最佳解相同。

Proof:omitted


那麼如果現在問題變成 min min problem (cooperative game)
\[\begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_x \mathop {\min }\limits_{i = 1,...,N} c_i^Tx\\
s.t.\\
Ax \le b
\end{array}
\]該如何處理呢?

注意到上述的引入新變數 $z$ 的方法在此會失敗。因為此時 $\displaystyle \mathop {\min }\limits_x \mathop {\min }\limits_{i = 1,...,N} c_i^Tx$ 不再是 凸函數 (convex function),(亦即convexity 無法保證)。求解最佳解(min)的會有問題 (如果其為 凹函數 (concave func…

[講義] PID / PI-D / I-PD 控制的差別

此講義主要介紹PID控制器的修正型態 (standard PID, I-PD, PI-D),
內容涵蓋所需的基礎PID控制介紹與參數設定法,接著透過一個簡單的模擬例子,來說明三種控制架構的的差異。

講義如附檔
Modifications of PID control schemes
Edited by 謝宗翰, 2011

ref: Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Fourth Edition, Prentice Hall, 2002. Chapter 10

[最佳化] 淺談線性規劃(5)- The LP Tableau

延續前篇,我們現在知道如何從一個 Basic Feasible Solution 移動到 另一個 Basic Feasible Solution ,但問題是我們該如何得知應該選哪一個 Basic Feasible Solution 作為我們下一部移動的目標呢?? 亦即 我們該選誰使得我們可以逐步降低Cost Value。

這次介紹一個極為精簡的方法,就是透過matrix row operation 建立 LP Tableau,方法如下:

現在考慮標準型式LP問題:

令 $x \in \mathbb{R}^n$,
\[\begin{array}{l}
\min {c^T}x\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
Ax = b,\\
x \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\]其中 $A = [a_1, a_2, ..., a_m] \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 矩陣且 $n>m$, $rank(A) = m$,$A$ 沒有全為零的column$;b \geq 0$,

接著透過Row operation,把拘束 $Ax =b$ 改寫成如下:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array} + {y_{1,m + 1}}{x_{m + 1}} + {y_{1,m + 2}}{x_{m + 2}} +  \cdots  + {y_{1,n}}{x_n} = {y_{1,0}}\\
\…

[最佳化] 淺談線性規劃(4)- How to move from one Basic Feasible solution to another- An Example

延續前篇,我們現在手上有了 LP問題的基本定理:

=================================
Theorem (Fundamental Theorem of LP):
考慮標準型式的線性規劃 (Standard LP)問題

令 $x \in \mathbb{R}^n$,
\[\begin{array}{l}
\min {c^T}x\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
Ax = b,\\
x \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\]其中 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣且 $n>m$, $rank(A) = m$,$A$ 沒有全為零的column$;b \geq 0$,
1. 若其存在一個 Feasible Solution,則必存在一個 Basic + Feasible 的解
2. 若其存在一個optimal + feasible solution,則必定存在一個optimal basic + feasible solution 。
=================================

現在我們來看看線性規劃的一些例子:

Example:
考慮如下 LP 問題:
\[\begin{array}{l}
\max \left( {3{u_1} + 5{u_2}} \right)\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 5{u_2} \le 40\\
2{u_1} + {u_2} \le 20\\
{u_1} + {u_2} \le 12
\end{array} \right.\\
{u_i} \ge 0,i = 1,2
\end{array}
\]首先將其改寫成標準型式LP問題: (引入 slack variable $y_3, y_4, y_5 \geq 0$)
\[\begin{array}{l}
\min \left( { - 3{u_1} - 5{u_2}} \right)\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 5{u_2} + {y_3} = 40\\
2{u_1} + {u_2} + \begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{a…

[最佳化] 淺談線性規劃(3)- Geometric View of LP

延續前篇,由 Fundamental Theorem of LP,我們得知 Optimal Feasible Solution存在,則必存在Optimal Basic Feasible Solution。現在我們從幾何的觀點來看看這個件事情。

也就是說我們想知道 Optimal Basic Feasible Solution 在幾何中有甚麼意義?
在文中我們會介紹 Basic Feasible Solution 等價標準LP拘束集合的 極點 (Extreme Point, or Vertex)

進行幾何的觀點討論之前,我們需要一些先備概念 (凸性 Convexity)來幫助我們。

以下先給出凸集合 (Convex set)的定義:

=============================
Definition (Convex Set)
我們說一個集合 $\Theta \subset \mathbb{R}^n$ 為一個 Convex set 如果下列條件滿足:
對任意兩向量 $x, y \in \Theta$,且對任意實數 $\alpha \in (0, 1), \alpha \in \mathbb{R}^1$,其凸組合 (convex combination)
\[
\alpha x + (1- \alpha) y \in \Theta
\]=============================

如果用圖形表示的話:考慮 $x,y \in \mathbb{R}^2$,下圖說明甚麼是convex set 什麼不是convex set。


有了Convex set 的概念之後,我們回頭檢驗看看 標準型式LP問題的拘束條件:
現在定義拘束集合
\[
 \Theta := \{x: x\geq 0, Ax =b \}
\] 則第一個問題是,我們這樣的拘束集合有甚麼幾何性質? 他是不是一個 Convex set?

答案是肯定的,我們將其寫作如下 FACT:

=================================
FACT:
標準型式 LP問題的拘束條件所形成的集合
\[
 \Theta := \{x: x\geq 0, Ax =b \}
\] 為 Convex set。
=================================

Proof:
由Conve…

[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(1)- sequence of functions

這次要介紹的是數學分析中關於函數收斂性 的 兩個非常重要的觀念: Pointwise convergence (逐點收斂) Uniform convergence (均勻收斂) 。

不過在談函數的收斂之前,我們需要先知道到底是誰要收斂? 在此我們所指的函數的收斂為考慮 函數 sequence  (也就是 函數 所形成的數列) 的收斂 。以下我們稱 $\{f_k \}_{k=1}^{\infty}$ 為一個 函數 sequence,其中 $f_k$ 為該數列中第 $k$ 個元素函數。

有了上述定義,我們便可以引入 這樣的函數到底如何收斂,首先我們介紹 函數 sequence 逐點收斂 的概念:
======================
Definition (Pointwise Convergence)
我們說一個 函數的 sequence $\{ f_k(t)\}_{k=1}^\infty $ 逐點收斂(converges pointwise) 到 某函數 $f(t)$ 若下列條件成立:
對任意 $ t \in [t_0, t_1]$
\[
 \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {f_k}(t) = f(t)
\]======================

Comment:
1. 上述定義清楚的說明甚麼是逐點收斂。注意到第一個條件是 對任意 $t \in [t_0, t_1]$;也就是說 如果我們固定 $t$在某個閉區間範圍 $[t_0, t_1]$,在該時刻 $t$,我們的函數sequence $f_k(t) \rightarrow f(t)$ 對每一點時刻都成立。故稱為逐點收斂。

2. $f_k(t) \rightarrow f(t)  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {f_k}(t)$ 在數學分析內容中,通常會更精確陳述為:
給定 $t \in [t_0,t_1]$, 對任意 $\varepsilon >0$ 存在一個夠大的 $N>0$ 使得 當 $n \ge N \Rightarrow |f_k(t) - f(t)| < \varepsilon$


下面給個例子說明Pointwise Convergence的概念:

Ex…

[線性系統] 淺談 Normed Vector Space

==================
Definition: Vector Space
一個 向量空間 (Vector Space) 是由兩個運算元 $+, \cdot$ (向量加法 與 純量乘法) 以及一個 $0$ 元素 所定義,我們可記做
\[
(+, \cdot, 0)
\] ==================
一般而言 Vector Space 可視為 抽象化的  Euclidean space (有限維度 );但 Vector Space 亦可為 無窮維度。



以下我們給出 三個線性系統理論 或者 數學分析 中常用的 Vector Space 作為例子:
---
Examples: 
1. $\mathbb{R}^n, n=1,2,3,...$ 是一個向量空間
2. 連續函數 $f(t)$ 在區間 $[t_0, t_1]$ 所形成的集合亦為一個向量空間 (此稱為 continuous function space,記做 $\cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$.
3. 有界 分段連續函數 $f(t)$ 在區間 $[t_0, t_1]$ 所形成的集合亦為一個向量空間 (此稱為 bounded piecewise continuous function space,記做 $\cal{B}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$.
---

Comments:
讀者可以自行檢驗上述兩個例子確實形成向量空間,比如說
令 $f$ 為連續函數,亦即 $ f \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$,我們檢驗其兩個運算元與 0 元素 如下

1. 連續函數 $f_1$ + 連續函數 $f_2$ 仍為連續函數 亦即 $f_1 + f_2 \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$
2. 純量 $\alpha$ $\cdot$ 連續函數 $f$ 仍為連續函數 亦即 $\alpha f \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$
3. $0$ 為連續函數,亦即 $0 \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$。

向量空間的子空間
==================
Definition: Subspace
令 $M$…

[最佳化] 淺談線性規劃(2)- Optimality Theorem & Fundamental Theorem of LP

延續上篇,我們知道了標準型式的Linear Programming 問題若存在feasible solution,則必定存在一個 basic + feasible solution,但我們完全沒有提及到底如何最佳化(在此我們以最小化為主;亦即目標是要盡可能降低cost function的值),

也就是在從一個feasible solution移動到下一個basic + feasible solution之後,cost function的值是如何被降低的。這次要介紹的是 Optimality Theorem

========================= Theorem: Optimality Theorem 對具有標準形式的Linear Programming問題,若其存在一個optimal + feasible solution $x^*$,則必定存在一個optimal basic + feasible solution $\tilde x^*$。
=========================

Proof:
考慮下列兩種情況:
1. $x^*$  為 Basic solution
2. $x^*$  不為 Basic solution

對情況1而言 (trivially true):
假設 $x^*$ 為Basic solution,則由假設我們又知道 $x^*$ 為 optimal + feasible solution;故在此情況下 $x^*$ 為 optimal basic + feasible solution 。

對情況2而言
假設 $x^*$  不為Basic solution,則由Basic Solution 定義可知
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一個向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 稱作對 $Ax=b$ 的 Basic Solution ,若 $x$中 nonzero components 對應到$A$矩陣的線性獨立 Columns。
-----

故若  $x^*$  不為Basic solution,則表示  $x^*$  中的nonzero components 對應到$A$矩陣 Columns為線性相關 ;故我們進一步改寫此結果:

令   $x_1^*, x_2^*, ..., x_m^*$ 為  $x^*$中 nonzero compon…