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目前顯示的是 12月, 2010的文章

[數學分析] 多變數函數的偏導數

令 $E\subset \mathbb{R}^n$ 為 open set。 考慮函數 ${\bf f}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 。令 $\{{\bf e}_1,...,{\bf e}_n\}$ 與 $\{{\bf u}_1,...,{\bf u}_m\}$ 各為 $\mathbb{R}^n$ 與 $\mathbb{R}^m$ 的 standard bases。則我們可以將 $\bf f$ 以分量(components)形式 $f_i$ 表示:對任意 ${\bf x} \in E$, \[ {\bf f}({\bf x}) := \sum_{i=1}^m f_i ({\bf x}){\bf u}_i =f_1 {\bf u}_1 + ... + f_m {\bf u}_m \]或者${f_i}\left( {\bf{x}} \right) = {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) \cdot {{\bf{u}}_i},i = 1,...,m$ 對任意 ${\bf x} \in E $,$1 \le i \le m$ 且 $1 \le j \le n$ 我們可以定義 偏導數 (Partial Derivative) \[\left( {{D_j}{f_i}} \right)\left( {\bf{x}} \right): = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{f_i}\left( {{\bf{x}} + t{{\bf{e}}_j}} \right) - {f_i}\left( {\bf{x}} \right)}}{t}\]若上述極限存在。 Comments: 1. 注意到 $f_i({\bf x}) = f_i(x_1,...,x_n)$ 故 $D_j f_i$ 表示了固定其餘變數,僅對 $f_i$ 中的 $x_j$ 求導:故我們記做 \[ D_jf_i ({\bf x}) := \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \]並且稱 $D_jf_i$ 為偏導數 (Partial Derivative) 2. 對任意多變數連續函數而言,儘管偏導數存在並不保證全導數存在:但反之則成立:亦

[數學分析] 淺論 Arzela-Ascoli Theorem

這次要介紹一個好用的定理:稱作  Arzela-Ascoli Theorem  ,此定理提供了何時可以說某 函數所構成的集合 為 totally bounded 的 充分必要條件 ======================== Theorem: Arzela-Ascoli Theorem 令 $K$ 為 compact ,考慮 collection of functions $\mathcal{F} \subset C(K)$ 為 totally bounded 若且唯若     1. $\mathcal{F}$ 為 point-wise bounded         ( $ \forall x$,$\exists M(x)$ 使得對任意 $f(x) \in \mathcal{F}$, $|f(x)| \le M(x)$)     2.  $\mathcal{F}$ 為 equicontinuous。          $(\; \forall \varepsilon>0$,$\exists \delta>0$ 使得對任意 $x,z \in K$, $$|x-z| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(z)| < \varepsilon, \;\;\;\;\; \forall f \in \mathcal{F}\;)$$ ======================== Comment:  判斷 Equicontinuouity 的方法除了前述定義法之外,還可用 uniform convergence sequence 定義;亦即 有兩種 判斷  Equicontinuouity  的方法: 1. 由定義 2. 若 $K$ 為 compact metric space 且對任意 $n \in \mathbb{N}$,$f_n \in C(K)$ 且 $\{f_n\}$ converges uniformly on $K$ 則 $\{f_n\}$ 為 equicontinuous on $K$。 ============= Corollary: 一個 closed $\mathcal{F} \subset C(K)$ 為 compact 若且為若 $\mathcal{F}$

[數學分析] 淺論收縮寫像定理-Contraction Principle

這次要介紹 收縮寫像定理 (Contraction Principle) 此為分析學中非常強大的工具。最大的應用是用來證明 微分方程 ODE 的解存在性與唯一性。我們在此將簡介此定理,介紹之前我們先介紹甚麼叫做 contraction ? ============================= Definition: Contraction 令 $(X,d)$ 為 metric space。 我們說一個函數 $\Phi: X \to X$ 為 contraction 若下列條件成立: 存在常數 $c$ 滿足 $0 \le c <1$ 且 $$d(\Phi(x), \Phi(y)) \le c \cdot d(x,y) $$ ============================= Comments:  1. 注意到我們要求常數 $c <1$ !! (不可等於 $1$) 2. 上述定義中的 $d(\cdot, \cdot)$ 為 $X$ 上 metric 。 現在我們看一些例子讓我們熟悉上述的定義 Example 1: 考慮 $\mathbb{R}$ 且裝備標準 metric 作為 metric space。試判斷 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 且 \[ f(x) := x+1 \]是否為 contraction? Proof: 為了要判斷 $f$ 是否為 contraction,我們直接檢驗其 metric: \[\begin{array}{l} d\left( {f\left( x \right),f\left( y \right)} \right): = \left| {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \left| {x + 1 - \left( {y + 1} \right)} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}

[機率論] 特性函數(1) - Properties

給定隨機變數 $X$,我們可以定義其對應的特性函數 (characteristic function) 如下: \[ \phi_X(t):= E [e^{itX}] \] Comment:  1. 特性函數可視為 Fourier Transform。 2. 特性函數只與 $X$ 的 distribution 有關。 3. 特性函數滿足下列關係:$\phi(0)=1 $ 且 \[\left| {{\phi _X}(t)} \right| = \left| {E[{e^{itX}}]} \right| \le E\left[ {\left| {{e^{itX}}} \right|} \right] \le 1\] 4. 特性函數為 uniformly continuous on $\mathbb{R}$。亦即 對任意  $t \in \mathbb{R}$,我們有 \[\begin{array}{l} \left| {\phi \left( {t + h} \right) - \phi \left( t \right)} \right| = \left| {E{e^{i\left( {t + h} \right)X}} - E{e^{i\left( t \right)X}}} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \left| {E\left[ {{e^{i\left( t \right)X}}\left( {{e^{i\left( h \right)X}} - 1} \right)} \right]} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \le E\left[ {\left| {{e^{i\left( t \right)X}}\left( {{e^{i\left( h \right)X}} - 1} \right)} \right|} \right] \to 0 \;\;  \text{as  $\; h \downarrow 0$} \end{array}\]上述極限成

[數學分析] 函數的 不連續性

令函數 $f: X \to Y$ 且 $x \in X$ 為其 domain 中一點 使得 $f$ 在該點不連續。則我們稱 函數$f$ 在此點 $x$ 不連續 ($f$ is discontinuous at $x$)。 比如說,我們看下圖,可發現該函數在 $x_0$ 處不連續 (函數圖形在 $x_0$點發生不連續, but 左右極限相等) https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%82%B9#mediaviewer/File:Discontinuity_removable.eps.png 一般而言如果 $f$ 是透過 "分段"定義,都會有不連續問題存在。不過在此之前我們需要一些先導觀念幫助我們:亦即所謂的  左極限 (left-limits of $f$ at $x$, $f(x-)$) 與 右極限 (right-limits of $f$ at $x$, $f(x+)$) =================== Definition: Right-Limit  令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上 ,考慮任意點 $x$ 使得 $a \le x < b$,我們說 $f$在 $x$ 點處  右極限存在 (記做   $f(x+) = q$ ) 若下列條件成立: 對任意 sequence $\{t_n\} \subset (x,b)$ 使得 $t_n \to x$ ,$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$ Definition: Left-Limit 令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上,考慮任意點 $x$ 使得 $a < x \le b$,我們可寫  $f$在 $x$點 左極限  存在 (記做   $f(x-) = q$ ) 若下列條件成立: 對任意 sequence $\{t_n\} \subset (a,x)$ 使得 $t_n \to x$ ,$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$ =================== Comments: 一般而言,常見的寫法還有 \[\left\{ \begin{array}{l} f(x + ) = \matho

[數學分析] 淺論多變數函數的全導數

首先回憶 單變數 函數的導數定義 若 $f : (a,b) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為 實數函數 若 $x \in (a,b)$ 則其 導數 \[ f'(x) := \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \] 上述的單變數函數導數雖然直覺,但是若我們想要拓展到多變數情況的時候便會面臨一些問題,比如說上述導數定義需要除以 $h $ 但如果我們現在考慮 多變數 的時候此時分母 $h$ 會變成向量 $\bf h$ 此時我們該怎麼處理 "除以一個向量" 這類的問題。 想法如下:取 norm $||\cdot||$ 將向量變回單變數。 ================== Definition: Differentiable at point ${\bf x}$ 我們稱函數 ${\bf{f}}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ($E$ 為 open) 為在 ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ 可微,若下列條件成立: 存在 Linear Transformation $L \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ 使得 \[\mathop {\lim }\limits_{{\bf{h}} \to 0} \frac{{\left\| {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}}) - L \cdot {\bf{h}}} \right\|}}{{\left\| {\bf{h}} \right\|}} = 0 \]且我們稱 ${\bf f}$ 為在  ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ 可微且記做 ${\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right) = L$ ================== ================== Definition: Differentiable on an open set $E$ 若 ${\bf{f}}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R

[微積分] 隱函數

現在考慮 單變數函數 $f(x)$,則我們可以將函數可以寫成如下形式: $$y = f(x) $$比如說 $y = \sqrt{x^2+1}$ 或者 $y=x \sin (x)$ 但有時我們也會遇到一些函數比如說 \[ x^2 + y^2 = 25\;\; \text{ or }\;\; x^3+ y^3 = 6xy \] 觀察上述兩個例子,讀者可發現函數的關係被隱藏在上述等式之中,或者說上述等式利用 變數 "$x,y$ 之間關係 來定義,我們將此類函數稱作 隱函數 (  implicit function  ),一般記做 $F(x,y) = 0$ (此時 $y$ 被隱藏在一個 $F(x,y)$之中) \[\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow \underbrace {{x^2} + {y^2} - 25}_{: = F\left( {x,y} \right)} = 0\\ {x^3} + {y^3} = 6xy \Rightarrow \underbrace {{x^3} + {y^3} - 6xy}_{: = G\left( {x,y} \right)} = 0 \end{array} \right. \]那麼我們的問題很顯然的是,是否可以把上述 隱函數 $F(x,y)=0$ 轉換回原本的 $y = f(x)$? 答案是: 只有在一些特定情況才可以求解隱函數 並透過將 $y$ 表示成 $x$ , 那麼這些所謂的特定情況是什麼? 這個問題將留待 之後我們介紹 隱含數定理的時候才會介紹。這邊只是先給出一些較為直覺的想法: 以下我們看個例子: Example 考慮隱含數 $F(x,y) = x^2 + y^2 = 25$,試將其改寫回 $y=f(x)$ 的形式。 Solution \[\begin{array}{l} F\left( {x,y} \right) = 0\\  \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 25 = 0\\  \Rightarrow y =  \pm \sqrt {25 - {x^2}} \end{array}\]且此時 $y := f(x)$ 且我們可繪製如下圖 Exercise

[微積分] 雙變數函數的極限

以下討論均考慮 雙變數情況 ============ Definition: Limit of function with two variables 令 $f :D \subset  \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 且 點 $(a,b) \in D$,則我們說 $f(x,y)$ 在點 $ (a,b)$ 的 Limit  $L$ 記做 $f(x,y) \to L$ as $(x,y) \to (a,b)$ 或者 \[ \lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y) =L \]若下列條件成立: 對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $(x,y) \in D$, \[ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - L| < \varepsilon \]============ Comments: 事實上上述定義可直接推廣到 $n$ 變數的情況,但為免以下分析過於複雜我們在此僅討論雙變數的情況。以下我們看個例子。 Example 試證 $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2}$ 存在 且 其極限值為 $0$。 Proof: 要證明   $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2}$ 存在,由定義出發:給定  $\varepsilon >0$,要證明 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, \[ \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - 0| < \varepsilon \] 首先觀察 \[|f(x,y) - 0| = |\frac{{3{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}| = \frac{{3{x^2}\left| y \right|}}{{{x^2} + {y^2}}} \le 3\left| y \right| = 3\sqrt