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目前顯示的是 十二月, 2010的文章

[數學分析] 多變數函數的偏導數

令 $E\subset \mathbb{R}^n$ 為 open set。
考慮函數 ${\bf f}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 。令 $\{{\bf e}_1,...,{\bf e}_n\}$ 與 $\{{\bf u}_1,...,{\bf u}_m\}$ 各為 $\mathbb{R}^n$ 與 $\mathbb{R}^m$ 的 standard bases。則我們可以將 $\bf f$ 以分量(components)形式 $f_i$ 表示:對任意 ${\bf x} \in E$,
\[
{\bf f}({\bf x}) := \sum_{i=1}^m f_i ({\bf x}){\bf u}_i =f_1 {\bf u}_1 + ... + f_m {\bf u}_m
\]或者${f_i}\left( {\bf{x}} \right) = {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) \cdot {{\bf{u}}_i},i = 1,...,m$

對任意 ${\bf x} \in E $,$1 \le i \le m$ 且 $1 \le j \le n$ 我們可以定義 偏導數 (Partial Derivative)
\[\left( {{D_j}{f_i}} \right)\left( {\bf{x}} \right): = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{f_i}\left( {{\bf{x}} + t{{\bf{e}}_j}} \right) - {f_i}\left( {\bf{x}} \right)}}{t}\]若上述極限存在。

Comments:
1. 注意到 $f_i({\bf x}) = f_i(x_1,...,x_n)$ 故 $D_j f_i$ 表示了固定其餘變數,僅對 $f_i$ 中的 $x_j$ 求導:故我們記做
\[
D_jf_i ({\bf x}) := \frac{\partial f_i}{\partial x_j}
\]並且稱 $D_jf_i$ 為偏導數 (Partial Derivative)

2. 對任意多變數連續函數而言,儘管偏導數存在並不保證全導數存在:但反之則成立:亦即若 $\bf f$ 在點 $…

[數學分析] 淺論 Arzela-Ascoli Theorem

這次要介紹一個好用的定理:稱作 Arzela-Ascoli Theorem ,此定理提供了何時可以說某 函數所構成的集合 為 totally bounded 的 充分必要條件

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Theorem: Arzela-Ascoli Theorem
令 $K$ 為 compact ,考慮 collection of functions $\mathcal{F} \subset C(K)$ 為 totally bounded 若且唯若
    1. $\mathcal{F}$ 為 point-wise bounded
        ( $ \forall x$,$\exists M(x)$ 使得對任意 $f(x) \in \mathcal{F}$, $|f(x)| \le M(x)$)
    2.  $\mathcal{F}$ 為 equicontinuous。
         $(\; \forall \varepsilon>0$,$\exists \delta>0$ 使得對任意 $x,z \in K$,
$$|x-z| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(z)| < \varepsilon, \;\;\;\;\; \forall f \in \mathcal{F}\;)$$

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Comment: 
判斷 Equicontinuouity 的方法除了前述定義法之外,還可用 uniform convergence sequence 定義;亦即 有兩種 判斷 Equicontinuouity 的方法:
1. 由定義
2. 若 $K$ 為 compact metric space 且對任意 $n \in \mathbb{N}$,$f_n \in C(K)$ 且 $\{f_n\}$ converges uniformly on $K$ 則 $\{f_n\}$ 為 equicontinuous on $K$。

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Corollary: 一個 closed $\mathcal{F} \subset C(K)$ 為 compact 若且為若 $\mathcal{F}$ 為 pointwise-bounded 與 equic…

[數學分析] 淺論收縮寫像定理-Contraction Principle

這次要介紹 收縮寫像定理 (Contraction Principle) 此為分析學中非常強大的工具。最大的應用是用來證明 微分方程 ODE 的解存在性與唯一性。我們在此將簡介此定理,介紹之前我們先介紹甚麼叫做 contraction ?


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Definition: Contraction
令 $(X,d)$ 為 metric space。
我們說一個函數 $\Phi: X \to X$ 為 contraction 若下列條件成立:
存在常數 $c$ 滿足 $0 \le c <1$ 且 $$d(\Phi(x), \Phi(y)) \le c \cdot d(x,y)
$$
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Comments: 
1. 注意到我們要求常數 $c <1$ !! (不可等於 $1$)
2. 上述定義中的 $d(\cdot, \cdot)$ 為 $X$ 上 metric 。


現在我們看一些例子讓我們熟悉上述的定義

Example 1: 考慮 $\mathbb{R}$ 且裝備標準 metric 作為 metric space。試判斷 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 且
\[
f(x) := x+1
\]是否為 contraction?

Proof:
為了要判斷 $f$ 是否為 contraction,我們直接檢驗其 metric:
\[\begin{array}{l}
d\left( {f\left( x \right),f\left( y \right)} \right): = \left| {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left| {x + 1 - \left( {y + 1} \right)} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = 1 \cdot \left| …

[機率論] 特性函數(1) - Properties

給定隨機變數 $X$,我們可以定義其對應的特性函數 (characteristic function) 如下: \[
\phi_X(t):= E [e^{itX}]
\]
Comment: 
1. 特性函數可視為 Fourier Transform。
2. 特性函數只與 $X$ 的 distribution 有關。
3. 特性函數滿足下列關係:$\phi(0)=1 $ 且
\[\left| {{\phi _X}(t)} \right| = \left| {E[{e^{itX}}]} \right| \le E\left[ {\left| {{e^{itX}}} \right|} \right] \le 1\]
4. 特性函數為 uniformly continuous on $\mathbb{R}$。亦即
對任意  $t \in \mathbb{R}$,我們有
\[\begin{array}{l}
\left| {\phi \left( {t + h} \right) - \phi \left( t \right)} \right| = \left| {E{e^{i\left( {t + h} \right)X}} - E{e^{i\left( t \right)X}}} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left| {E\left[ {{e^{i\left( t \right)X}}\left( {{e^{i\left( h \right)X}} - 1} \right)} \right]} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le E\left[ {\left| {{e^{i\left( t \right)X}}\left( {{e^{i\left( h \right)X}} - 1} \right)} \right|} \right] \to 0 \;\;  \text{as  $\; h \downarrow 0$}
\end{array}\]上述極限成立因為 Dominated Conv…

[數學分析] 函數的 不連續性

令函數 $f: X \to Y$ 且 $x \in X$ 為其 domain 中一點 使得 $f$ 在該點不連續。則我們稱 函數$f$ 在此點 $x$ 不連續 ($f$ is discontinuous at $x$)。 比如說,我們看下圖,可發現該函數在 $x_0$ 處不連續 (函數圖形在 $x_0$點發生不連續, but 左右極限相等)

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%82%B9#mediaviewer/File:Discontinuity_removable.eps.png


一般而言如果 $f$ 是透過 "分段"定義,都會有不連續問題存在。不過在此之前我們需要一些先導觀念幫助我們:亦即所謂的 左極限 (left-limits of $f$ at $x$, $f(x-)$) 與 右極限 (right-limits of $f$ at $x$, $f(x+)$)

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Definition: Right-Limit 
令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上 ,考慮任意點 $x$ 使得 $a \le x < b$,我們說 $f$在 $x$ 點處 右極限存在 (記做$f(x+) = q$ ) 若下列條件成立:
對任意 sequence $\{t_n\} \subset (x,b)$ 使得 $t_n \to x$ ,$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$

Definition: Left-Limit
令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上,考慮任意點 $x$ 使得 $a < x \le b$,我們可寫  $f$在 $x$點左極限 存在 (記做$f(x-) = q$ ) 若下列條件成立:
對任意 sequence $\{t_n\} \subset (a,x)$ 使得 $t_n \to x$ ,$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$
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Comments:
一般而言,常見的寫法還有
\[\left\{ \begin{array}{l}
f(x + ) = \mathop {\lim }\limits_{t \searrow x} f\left…

[數學分析] 淺論多變數函數的全導數

首先回憶 單變數 函數的導數定義

若 $f : (a,b) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為 實數函數 若 $x \in (a,b)$ 則其 導數
\[
f'(x) := \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\]

上述的單變數函數導數雖然直覺,但是若我們想要拓展到多變數情況的時候便會面臨一些問題,比如說上述導數定義需要除以 $h $ 但如果我們現在考慮 多變數 的時候此時分母 $h$ 會變成向量 $\bf h$ 此時我們該怎麼處理 "除以一個向量" 這類的問題。

想法如下:取 norm $||\cdot||$ 將向量變回單變數。

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Definition: Differentiable at point ${\bf x}$
我們稱函數 ${\bf{f}}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ($E$ 為 open) 為在 ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ 可微,若下列條件成立:
存在 Linear Transformation $L \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ 使得
\[\mathop {\lim }\limits_{{\bf{h}} \to 0} \frac{{\left\| {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}}) - L \cdot {\bf{h}}} \right\|}}{{\left\| {\bf{h}} \right\|}} = 0
\]且我們稱 ${\bf f}$ 為在  ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ 可微且記做 ${\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right) = L$
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Definition: Differentiable on an open set $E$
若 ${\bf{f}}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 且 $E$ open,則我們說 $…

[微積分] 隱函數

現在考慮 單變數函數 $f(x)$,則我們可以將函數可以寫成如下形式:
$$y = f(x)
$$比如說 $y = \sqrt{x^2+1}$ 或者 $y=x \sin (x)$

但有時我們也會遇到一些函數比如說
\[
x^2 + y^2 = 25\;\; \text{ or }\;\; x^3+ y^3 = 6xy
\] 觀察上述兩個例子,讀者可發現函數的關係被隱藏在上述等式之中,或者說上述等式利用 變數 "$x,y$ 之間關係 來定義,我們將此類函數稱作 隱函數implicit function ),一般記做 $F(x,y) = 0$ (此時 $y$ 被隱藏在一個 $F(x,y)$之中)
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow \underbrace {{x^2} + {y^2} - 25}_{: = F\left( {x,y} \right)} = 0\\
{x^3} + {y^3} = 6xy \Rightarrow \underbrace {{x^3} + {y^3} - 6xy}_{: = G\left( {x,y} \right)} = 0
\end{array} \right.
\]那麼我們的問題很顯然的是,是否可以把上述 隱函數 $F(x,y)=0$ 轉換回原本的 $y = f(x)$?

答案是:只有在一些特定情況才可以求解隱函數 並透過將 $y$ 表示成 $x$ ,那麼這些所謂的特定情況是什麼? 這個問題將留待 之後我們介紹 隱含數定理的時候才會介紹。這邊只是先給出一些較為直覺的想法:

以下我們看個例子:

Example
考慮隱含數 $F(x,y) = x^2 + y^2 = 25$,試將其改寫回 $y=f(x)$ 的形式。

Solution
\[\begin{array}{l}
F\left( {x,y} \right) = 0\\
 \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 25 = 0\\
 \Rightarrow y =  \pm \sqrt {25 - {x^2}}
\end{array}\]且此時 $y := f(x)$ 且我們可繪製如下圖


Exercise
試仿照前例,考慮隱含數 $x^3+ y^3 = 6xy$ 試將其改寫回 $y…

[微積分] 雙變數函數的極限

以下討論均考慮 雙變數情況
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Definition: Limit of function with two variables
令 $f :D \subset  \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 且 點 $(a,b) \in D$,則我們說 $f(x,y)$ 在點 $ (a,b)$ 的 Limit  $L$ 記做 $f(x,y) \to L$ as $(x,y) \to (a,b)$ 或者
\[
\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y) =L
\]若下列條件成立:
對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $(x,y) \in D$,
\[
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - L| < \varepsilon
\]============

Comments:
事實上上述定義可直接推廣到 $n$ 變數的情況,但為免以下分析過於複雜我們在此僅討論雙變數的情況。以下我們看個例子。


Example
試證 $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2}$ 存在 且 其極限值為 $0$。

Proof:
要證明   $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2}$ 存在,由定義出發:給定  $\varepsilon >0$,要證明 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$,
\[
\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - 0| < \varepsilon
\]
首先觀察
\[|f(x,y) - 0| = |\frac{{3{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}| = \frac{{3{x^2}\left| y \right|}}{{{x^2} + {y^2}}} \le 3\left| y \right| = 3\sqrt {{y^2}}  \le 3\sqrt {{y^2} …