在開始之前我們先說明到底 隱函數定理 想解決什麼問題?也就是: 何時能把 多變數函數 $f(x,y)=0$ 中的變數 用另一個變數表示 e.g., $x$ 用 $y$ 表示。 考慮 $f$ 為 雙變數函數 且 $f \in C^1$,則函數 $f$ 在 點 $(a,b)$ 滿足 \[ f(a,b) = 0,\;\; \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0 \]則在 $(a,b)$ 附近的鄰域之內,我們可求解方程式 $f(x,y) =0$ 並將 $y$ 用 $x$ 表示。 同理,若在 \[ f(a,b) = 0,\;\; \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \neq 0 \]則我們就可在 $(a,b)$ 附近的鄰域之內,我們可求解方程式 $f(x,y) =0$ 中的 $x$ 用 $y$ 表示。 Example 考慮 $f(x,y) := x^2 + y^2 -1$ 。 Q1: 求解 $f(x,y)=0$ 在 $(x,y)=(a,b) = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$處,問是否其解 $x$ 可用 $y$ 表示 or 將解 $y$ 用 $x$ 表示? Q2: 求解 $f(x,y)=0$ 在 $(x,y)=(a,b) = (1, 0)$處,問是否其解 $x$ 可用 $y$ 表示 or 將解 $y$ 用 $x$ 表示? Proof: 考慮 $(a,b)= (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ 且觀察 \[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\left( {a,b} \right) = {\left. {2y} \right|_{\left( {a,b} \right)}} = 2b = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \ne 0\\ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {a,b} \right) = {\left. {2x} \right|_{\left( {a,b} \right)}} = 2a = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \ne 0 \end{array} \r
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya