回憶反矩陣(Inverse Matrix) 定義: ======================== Definition: Inverse Matrix 給定矩陣 $A,B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ($A,B$皆為 方陣) ,若 $A B = BA = I_n$ 則我們稱 $B $ 為 矩陣 $A$ 的 反矩陣 (Inverse Matrix) ,一般而言我們將 $A$ 矩陣的 反矩陣記作 $A^{-1}$。 ======================== 其中 $I_n$ 表示 $n \times n$ 單位矩陣,也就是說 \[{I_n}: = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& \cdots &0\\ 0&1&{}& \vdots \\ \vdots &{}& \ddots &0\\ 0& \cdots &0&1 \end{array}} \right]_{n \times n}} \] Comments: 1. 若 $A^{-1}$ 存在 (亦即若 $\det (A) \neq 0$),則 $A$ 矩陣稱為非奇異矩陣 (nonsingular matrix),反之若 $\det(A) = 0$ 則我們稱 $A$ 矩陣為奇異矩陣 (singular matrix)。 2. 讀者應注意到前述 反矩陣 僅在定義滿足的時候成立 (最直接的檢驗法即為檢驗 $\det (A)$ 是否不等於 $0$),但是若定義不滿足的情況該怎麼辦?比如說,$A$ 矩陣為奇異矩陣,此時不存在反矩陣,或者說 $A$矩陣不為方陣,則該如何"求得"其反矩陣?或者若無法求得反矩陣,可否近似反矩陣?為了克服此問題我們引入擬返矩陣 (Pseudo Inverse Matrix) 並使之能夠進一步推廣原本反矩陣的定義,以下給出擬反矩陣定義 ======================== Definition: (Pseudo Inverse Matrix) 對 任意 矩陣 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$,存在唯一的 擬反矩陣(Pseu
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya