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目前顯示的是 7月, 2015的文章

[矩陣分析] 擬反矩陣(Pseudo Inverse Matrix)

回憶反矩陣(Inverse Matrix) 定義: ======================== Definition: Inverse Matrix 給定矩陣 $A,B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ($A,B$皆為 方陣) ,若 $A B = BA = I_n$ 則我們稱 $B $ 為 矩陣 $A$ 的 反矩陣 (Inverse Matrix) ,一般而言我們將 $A$ 矩陣的 反矩陣記作 $A^{-1}$。 ======================== 其中 $I_n$ 表示 $n \times n$ 單位矩陣,也就是說 \[{I_n}: = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& \cdots &0\\ 0&1&{}& \vdots \\  \vdots &{}& \ddots &0\\ 0& \cdots &0&1 \end{array}} \right]_{n \times n}} \] Comments:  1. 若 $A^{-1}$ 存在 (亦即若 $\det (A) \neq 0$),則 $A$ 矩陣稱為非奇異矩陣 (nonsingular matrix),反之若 $\det(A) = 0$ 則我們稱 $A$ 矩陣為奇異矩陣 (singular matrix)。 2. 讀者應注意到前述 反矩陣 僅在定義滿足的時候成立 (最直接的檢驗法即為檢驗 $\det (A)$ 是否不等於 $0$),但是若定義不滿足的情況該怎麼辦?比如說,$A$ 矩陣為奇異矩陣,此時不存在反矩陣,或者說 $A$矩陣不為方陣,則該如何"求得"其反矩陣?或者若無法求得反矩陣,可否近似反矩陣?為了克服此問題我們引入擬返矩陣 (Pseudo Inverse Matrix) 並使之能夠進一步推廣原本反矩陣的定義,以下給出擬反矩陣定義 ======================== Definition: (Pseudo Inverse Matrix) 對 任意 矩陣 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$,存在唯一的 擬反矩陣(Pseu

[基礎數學] 數學歸納法應用例

以下我們簡介證明手段中一個重要的工具:數學歸納法 (Mathematical Induction) 以及一些 應用例子,以下我們給出定義 Theorem: (Mathematical Induction) 給定 $n, n_0 \in \mathbb{N}$ 滿足  $n \ge n_0$,則命題句  $P(n)$ 對任意 $n \ge n_0$ 為真若下列兩個條件成立: $P(n_0)$ 為真 對任意 $k \ge n_0$,若 $P(k)$ 為真,則 $P(k+1)$ 為真。 Comments: 1. 對於條件 1,我們稱其為 base case, 對於條件 2,我們稱其為 induction step 2. 想法: 關於數學歸納法可以想成推倒骨牌的遊戲,條件一可以想像成推倒第一片骨牌,然後條件二假設如果第 $n$ 片骨牌被推倒,則 $n+1$ 片骨牌必定要倒。 以下我們看幾個例子: ================ Claim : 對任意 $p > -1$ 與 $n \in \mathbb{N}$,下列結果恆成立: \[ (1+p)^n \ge 1+np \]=============== Proof : 利用歸納法證明,先使用 $(*)$ 考慮 $n=1$ 與 $p = 0$,該結果可簡化為 \[ 1 \ge 1 \]故可馬上得知 $n=1$ 時候上述命題成立。接著我們使用 $(**)$,故現在假設 \[ (1+p)^n \ge 1+np \]我們要證明 \[ (1+p)^{n+1} \ge 1+(n+1)p \] 觀察 \[ (1+p)^{n+1} = (1+p)^n (1+p) \ge (1+np) (1+p) = 1+n p + p + n p^2 \] 注意到 $np^2 \ge 0$ 故我們有 \[ (1+p)^{n+1} \ge 1 + (n + 1)p\;\;\;\;\;\; \square \] Claim: 令 \[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&b\\ 0&1 \end{array}} \right]\]試證明 \[{A^n} = \left[ {\begin{array}