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目前顯示的是 七月, 2015的文章

[矩陣分析] 擬反矩陣(Pseudo Inverse Matrix)

回憶反矩陣(Inverse Matrix) 定義:
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Definition: Inverse Matrix
給定矩陣 $A,B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ($A,B$皆為 方陣) ,若 $A B = BA = I_n$ 則我們稱 $B $ 為 矩陣 $A$ 的 反矩陣 (Inverse Matrix),一般而言我們將 $A$ 矩陣的 反矩陣記作 $A^{-1}$。
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其中 $I_n$ 表示 $n \times n$ 單位矩陣,也就是說
\[{I_n}: = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0& \cdots &0\\
0&1&{}& \vdots \\
 \vdots &{}& \ddots &0\\
0& \cdots &0&1
\end{array}} \right]_{n \times n}}
\]
Comments: 
1. 若 $A^{-1}$ 存在 (亦即若 $\det (A) \neq 0$),則 $A$ 矩陣稱為非奇異矩陣 (nonsingular matrix),反之若 $\det(A) = 0$ 則我們稱 $A$ 矩陣為奇異矩陣 (singular matrix)。

2. 讀者應注意到前述 反矩陣 僅在定義滿足的時候成立 (最直接的檢驗法即為檢驗 $\det (A)$ 是否不等於 $0$),但是若定義不滿足的情況該怎麼辦?比如說,$A$ 矩陣為奇異矩陣,此時不存在反矩陣,或者說 $A$矩陣不為方陣,則該如何"求得"其反矩陣?或者若無法求得反矩陣,可否近似反矩陣?為了克服此問題我們引入擬返矩陣 (Pseudo Inverse Matrix) 並使之能夠進一步推廣原本反矩陣的定義,以下給出擬反矩陣定義

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Definition: (Pseudo Inverse Matrix)
任意矩陣 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$,存在唯一的 擬反矩陣(Pseudo Inverse Matrix) 記作 $A^{…

[基礎數學] 數學歸納法應用例

以下我們簡介證明手段中一個重要的工具:數學歸納法 (Mathematical Induction) 以及一些 應用例子,以下我們給出定義

Theorem: (Mathematical Induction)
給定 $n, n_0 \in \mathbb{N}$ 滿足  $n \ge n_0$,則命題句  $P(n)$ 對任意 $n \ge n_0$ 為真若下列兩個條件成立:

$P(n_0)$ 為真對任意 $k \ge n_0$,若 $P(k)$ 為真,則 $P(k+1)$ 為真。

Comments:
1. 對於條件 1,我們稱其為 base case, 對於條件 2,我們稱其為 induction step
2. 想法:關於數學歸納法可以想成推倒骨牌的遊戲,條件一可以想像成推倒第一片骨牌,然後條件二假設如果第 $n$ 片骨牌被推倒,則 $n+1$ 片骨牌必定要倒。


以下我們看幾個例子:

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Claim: 對任意 $p > -1$ 與 $n \in \mathbb{N}$,下列結果恆成立:
\[
(1+p)^n \ge 1+np
\]===============
Proof:
利用歸納法證明,先使用 $(*)$
考慮 $n=1$ 與 $p = 0$,該結果可簡化為
\[
1 \ge 1
\]故可馬上得知 $n=1$ 時候上述命題成立。接著我們使用 $(**)$,故現在假設
\[
(1+p)^n \ge 1+np
\]我們要證明
\[
(1+p)^{n+1} \ge 1+(n+1)p
\]
觀察
\[
(1+p)^{n+1} = (1+p)^n (1+p) \ge (1+np) (1+p) = 1+n p + p + n p^2
\]
注意到 $np^2 \ge 0$ 故我們有
\[
(1+p)^{n+1} \ge 1 + (n + 1)p\;\;\;\;\;\; \square
\]

Claim:
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&b\\
0&1
\end{array}} \right]\]試證明
\[{A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{nb}\\
0&1
\end{array}} \right]\]
Proof:…