謝宗翰的隨筆

六十餘年妄學詩，功夫深處獨心知 夜來一笑寒燈下，始是金丹換骨時 陸游 --- 夜吟 --- 昨天 (12/17/2019) 我完成了我的博士論文答辯。我想趁著一切記憶還鮮明的時候 寫寫我的想法與心中的感謝。 心境 從 2013 到執筆寫下這篇文章的今天，六年多將近七年的留美歲月恍如昨日，當日少年轉眼變成大叔。我猶記剛剛踏上 Madison, Wisconsin 時候的大雪紛飛與零下 20 度的氣溫。我瑟瑟發抖，套上好友送的防寒手套，心中想著即將與剛新婚不久的 太太 順瑩 分離，經濟上與課業上的全新挑戰。這是個用英文點杯咖啡都顯得結巴困難的日子。 關於課業與研究 我是在 UW-Madison   電機與電腦工程系  攻讀博士，主修 控制系統 輔修 數學。我有幸師從 B. Ross Barmish 教授，他是 強健控制 與 控制工程 在財務應用 的幾位領頭人物之一。 我主要研究領域是落在 隨機系統 與 財務工程 的交集 1 。讀博期間很慶幸在許多師長的幫助之下，順道取得同校的 數學與電機 雙碩士學位，加上我原本在台灣的機械碩士，僥倖集滿了三碩，多了幾根白髮，發了幾篇文章。最開心的大概是我終於可以厚顏自稱自己是 (應用) 數學家 。 彷彿又更接近了一點當年在大學時候的夢想：成為一位 控制理論 學者。 讀博過程，除了研究之外，更常時候是在等待論文審核的時光中度過。填補這個等待就是做新的研究。一個挖坑又自己填坑的過程。很多煎熬，很多難關。許許多多的人在這路上幫助過我，或先或後，或直接或間接，難以計數，我由衷謝謝他們。 關於經濟 除了幾個特定 超熱門領域 之外，做理論研究並沒有太多經費。所以我得在 興趣 與 麵包 之間做選擇。我選了前者，也因此開啟了長年教課的日子。我感謝 UW-Madison  數學系 與 電機系 願意給我機會擔任 助教 或者 講師 職位。我由衷謝謝他們。 關於博士答辯之後與博士頭銜 答辯之前與答辯之後並沒有不同，答辯之後並沒有讓我對研究領域的認識就瞬間有了質的飛躍，更多時候是細水長流的累積直到答辯的那一刻。論文答辯 本身 不過是給我一個機會 分享總結 自己過去這些年的一些些研究成果。若要說博士頭銜有什麼作用，大概就是讓我得到了一個奢侈的特權：得到申請 助理教授 職位被拒絕的特權。希望這個特權

板橋教會敬拜讚美團 『決定，回家』 20週年 紀念音樂專輯。 整張專輯： 謝謝你們。

在凸優化問題中，僅管凸性保證了任意局部最優解 (local minimizer) 就是 全局最優解 (global minimizer)，但凸性並沒有保證所考慮的凸優化問題 一定 存在 最優極小解。下面的結果刻劃了凸優化最佳解的性質，常被用來檢驗最佳解的存在性，是個十分有用的結果。 =========== Theorem: (凸優化最佳解的集合為凸集) 令 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 為 凸集合 且 $f: S\to \mathbb{R}$ 為 凸函數。令 $S^*$ 為所有極小點所成之集合亦即 \[ S^* := \{x\in S: f(x) \leq f(y), \forall \; y \in S\; \} \] 則 $S^*$ 為凸集。 =========== Proof : 若 $S^* = \emptyset$ 則上述定理陳述自動成立。若 $S^* \neq \emptyset$，則存在 $x_0 \in S^*$。考慮 level set \[ S_{\leq f(x_0)} := \{x\in S: f(x) \leq f(x_0)\} \] 則不難驗證 $S_{\leq f(x_0)} = S^*$。接著由下述 Lemma 可知 $S^*$ 為 convex。至此證明完畢。$\square$ =========== Lemma:  令 $S \subseteq \mathbb{R}^n$為凸集，且 $f:S \to \mathbb{R}$  為凸函數。則對任意 $\alpha \in \mathbb{R}$， (lower) level set $$ S_{\leq \alpha}:= \{x \in \mathbb{R}^n: f(x) \leq \alpha\} $$ 為 凸集。 =========== Proof:  若 level set $S_{\leq \alpha}$ 為空集合或者單點集，則陳述自動成立。若不然，取 $x_1,x_2 \in S_{\leq \alpha}$ ，則 $f(x_1) \leq \alpha$ 且 $f(x_2) \leq \alpha$。我們要證明 convex combination of $x_1$ 與 $x_2$ 仍落在 $