謝宗翰的隨筆

Claim:  給定機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$，令$X$與$Y$為兩隨機變數。若 $P(X=Y)=1$ 則$X$與$Y$有相同分布，亦即對任意可測集合 $A \in \mathcal{F}$， $$P(X \in A) = P(Y \in A)$$ Proof: 令$A \in \mathcal{F}$，我們觀察 $$ P(X\in A\cap X\neq Y)\leq P(X\neq Y)=0 $$ 故可推得 $P(X\in A\cap X\neq Y)=0$。利用此結果，我們注意到 $$ P(X\in A)=P(X\in A\cap X=Y)+\underbrace{P(X\in A\cap X\neq Y)}_{=0}=P(X\in A\cap X=Y) $$ 同理我們亦可觀察 $P(Y\in A)=P(Y\in A\cap X=Y)$。注意到若我們可證明 $$P(X\in A\cap X=Y) = P(Y\in A\cap X=Y) \;\;\;\;\; (*)$$則 $$P(X\in A)=P(X\in A\cap X=Y)=P(Y\in A\cap X=Y)=P(Y\in A)$$即為所求。 現在我們回頭證明等式$(*)$。我們僅須證明下列事件集合等式關係成立 $$\{X\in A\cap X=Y\} = \{Y\in A\cap X=Y\} $$即可。首先證明 $\{X\in A\cap X=Y\} \subset \{Y\in A\cap X=Y\} $: 令 $\omega \in \{ X \in A\cap X=Y\}$ 即表明 $X(\omega) \in A$ 且 $X(\omega) = Y(\omega)$。 故我們可推得 $Y(\omega) \in A$ 故此，$\omega \in \{Y \in A\cap X=Y\}$。亦即$$\{X\in A\cap X=Y\} \subset \{Y\in A\cap X=Y\} $$ 同理不難證得 $\{X\in A\cap X=Y\} \supset \{Y\in A\cap X=Y\} $。故我們得到 $\{X\in A\cap X=Y\} = \{Y\in A\cap X=Y\} $至此證明完畢。$\square$ 上述 Claim 的反面論述