這是要介紹的概念是關於函數的 image 與 preimage (又稱 inverse image) 現在給定一個函數 $f: X \rightarrow Y$,則我們說 $f(x)$ 為 $f$ 的值。$X$ 為 domain (有時候我們稱 $f$ 定義在 $X$ 上),$Y$ 為 co-domain。下圖可以很清楚的說明這個概念 ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Image_(mathematics) 在介紹 preimage之前,我們先說說什麼是 image (像) 讓 $E \subset X$,則我們稱 image of $E$ under $f$ 為 $f(E)$ 定義如下 \[f(E): = \{ f(x):x \in E\} \]現在我們看幾個 image 的例子 Example 1 令 $f:\{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d \}$ 且定義 \[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l} a,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x = 1\\ a,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x = 2\\ c,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x = 3 \end{array} \right.\]試求 image $f(\{2,3 \})=?$ Solution 由定義 \[\begin{array}{l} f(E): = \{ f(x):x \in E\} \\ \Rightarrow f(\left\{ {2,3} \right\}) = \{ f(x):x \in \left\{ {2,3} \right\}\} = \left\{ {a,c} \right\} \ \ \ \ \square \end{array} \] Example 2 令 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 且定義 $f\left( x \right): =x ^2 $ 試求 image $f(\{-2,3 \})=?
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya