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目前顯示的是 七月, 2013的文章

[基礎數學] 函數的像 與 像原 (Image and Preimage)

這是要介紹的概念是關於函數的 image 與 preimage (又稱 inverse image)

現在給定一個函數 $f: X \rightarrow Y$,則我們說 $f(x)$ 為 $f$ 的值。$X$ 為 domain (有時候我們稱 $f$ 定義在 $X$ 上),$Y$ 為 co-domain。下圖可以很清楚的說明這個概念


ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Image_(mathematics)

在介紹 preimage之前,我們先說說什麼是 image (像)
讓 $E \subset X$,則我們稱 image of $E$ under $f$ 為 $f(E)$ 定義如下 \[f(E): = \{ f(x):x \in E\}
\]現在我們看幾個 image 的例子

Example 1
令 $f:\{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d \}$ 且定義
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
a,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x = 1\\
a,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x = 2\\
c,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x = 3
\end{array} \right.\]試求 image $f(\{2,3 \})=?$
Solution
由定義  \[\begin{array}{l}
f(E): = \{ f(x):x \in E\} \\
 \Rightarrow f(\left\{ {2,3} \right\}) = \{ f(x):x \in \left\{ {2,3} \right\}\}  = \left\{ {a,c} \right\} \ \ \ \ \square
\end{array}
\]

Example 2
令 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 且定義 $f\left( x \right): =x ^2 $ 試求 image $f(\{-2,3 \})=?$
Solution
由定義  \[\begin{array}{l}
f(E): = …

[分享] 關於數學證明的一點點思路 (III)

關於數學證明的一點點思路(III)-Forward-backward method。

這次想跟大家分享一個一般數學證明常用的方法,稱作Forward-backward method。
此法本質上就是 [分享] 關於數學證明的一點點思路 (I)-基本思路 的詳細說明版本。

現在讓我們考慮一個標準命題:
If A then B
如之前我們討論過的, 陳述 A 稱為 假設(hypothesis), 陳述 B 稱為 結論(conclusion)或稱待證目標,

如果我們想要證明 if A then B,則我們可以假設A為真,然後需要證明B為真。
這時有兩種途徑可以著手進行,

首先是先觀察 待證目標B,看看是否有方法可以得到 結論B 或者 得到接近B的陳述,或者有與待證目標B相關的已知結果(如定理、引理)可以使用,這種方法稱為 Backward process (從觀察結論下手)

再者,回頭觀察 已知假設A,看看是否可以透過藏在A中的蛛絲馬跡讓我們來一步一步逼近結論B,這種方法稱為Foward process (從假設出發)

最後是試圖把上述兩者連結起來,就構成整個Forward-Backward process,這很像是在走迷宮
Professor Daniel Solow給了一張非常生動的圖闡述這個想法



看是要從迷宮的中心往外走還是要從迷宮的入口往內走,只要能把整個路徑連起來,證明就完成了。以下是一個非常簡單的例子,來說明如何使用Forward-Backward process


==========================================
EXAMPLE
If the right triangle $XYZ$ with sides of lengths $x$ and $y$, and hypotenuse of length $z$, has an area of $z^2/4$, then the triangle $XYZ$ is isosceles.
------------------------------------------
(譯:若直角三角形 $XYZ$ 兩股長為 $x$ 與 $y$,且斜邊長為 $z$,其面積為 $z^2/4$,則 三角形 $XYZ$ 為等腰三角形)

======================…

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if
 (此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。)

中文翻譯叫做 若且唯若 (or 當且僅當),記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛莫能助,畢竟有翻跟沒翻一樣,都是有看沒有懂。

在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種雙條件句,通常可以直接將其視為"定義(Definition)"待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他

假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B.
注意到,在此我們不必考慮這兩個陳述句到底是什麼,想表達什麼,或者到底是否為真(true),這些都不重要。只要知道是兩個陳述即可。

現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B"
好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢?
事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是
"( A if B ) and ( A only if B )"

那麼先針對第一個部分 A if B 來看,
其實這句就是說 if B then A,
更直白一點就是 "if B is true, then A is also true". 
在數學上等價可以寫為 "B implies A". 
或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A" 

現在針對第二個部分 A only if B
此句意指 "If B is not true, then A is also not true".
所以如果已知 A is true, 那麼按照上句不難推得 B is also true
也就是說 A only if B 等價為 "If A is true then B is also true".
同樣,也可以寫作"A implies B"
或者用箭頭表示 "A $\Rightarrow$  B".

所以現在總結如下,下列七個 if and only if 陳述完全等價:

"A if and only if B" "A iff…