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目前顯示的是 4月, 2018的文章

[訊號與系統] LTI系統輸入輸出關係由 Convolution 決定 - 從離散時間觀點

以下我們討論 為何 線性非時變 (Linear Time-Invariant, LTI) 系統 輸入與輸出關係 由 所謂的 convolution 表示。為了避免過多繁雜的數學,以下僅討論離散時間的情況。首先我們需要一些定義的幫助: ======================== Definition: Unit Impulse Function in Discrete-Time (Kronecker Delta) 我們說函數 $\delta: \mathbb{N} \to \{0,1\}$ 為 unit impulse function in discrete-time time 若 $\delta$ 滿足 \[\delta \left[ n \right] = \left\{ \begin{gathered}   1,\;\;\;\;n = 0 \hfill \\   0,\;\;\;\; o.w. \hfill \\ \end{gathered}  \right. \]======================== ======================== Definition: Impulse Response 給定任意系統配備輸入 $x[n]$ 與輸出 $y[n]$ 關係為 $y[n] = T\{x[n]\}$其中 $T$ 視為 operator (定義在某函數空間),若輸入為 $x[n]=\delta[n]$ 則 輸出 \[ h[n] := y[n] = T\{\delta[n]\} \]稱為系統 $T$ 的 脈衝響應 (impulse response) ======================== ======================== FACT: 任意離散訊號 $x[n]$ 可由 $\delta$ 做組合疊加,亦即 \[ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[i] \delta[n-k] \]======================== Proof: 證明顯然,在此不做贅述。$\square$ ======================== Definition: Linear System 給定系統 $T$ 滿足以下輸入與輸

[測度論] DCT 應用:積分例子(1)

試證下列積分 \[ \lim_{n \to \infty} \int_0^\infty (1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)dx = 0 \]  Proof: 對任意 $x \in [0,\infty)$而言,令 $f_n(x):=(1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)$,則 $f_n \to 0$。另外我們注意到 因為 $\sin(x/n) \leq 1 $ 以及利用 附註的 Claim 可知 $(1+x/n)^{-n} \leq e^{-x}$ 故 \[ f_n(x) = (1+(x/n))^{-n} \sin(x/n) \leq e^{-x} \]現在我們令 $g(x):=e^{-x} \in L^1([0,\infty),m)$。為此我們觀察 \[ \int_0^\infty e^{-x} dx = 1 < \infty \]故 $g \in L^1([0,\infty),m)$ 且 $|f_n(x)| \leq g(x)$,故由 Dominanted Convergence Theorem 可知 \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \int_0^\infty (1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)dx &=  \int_0^\infty \lim_{n \to \infty}(1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)dx\\ &=\int_0^\infty  0 dx = 0 \end{align*} 至此證明完畢。$\square$ Claim:  對任意 $x\in(0,\infty)$ 與 $n \in \mathbb{N}$,我們有 \[ (1+x/n)^{-n} \leq e^{-x} \]  Proof: 注意到 $\log (1+x/n)^{-n} = -n \log(1+x/n) \leq -n \frac{x}{n}=-x$。現在對兩邊同取 $exp()$ 可得 \[ (1+x/n)^{-n} \leq e^{-x} \]至此得證。$\square$

[測度論] 從 測度論 觀點看 Chebyshev Inequality

Chebyshev inequality 是 機率論 中一個非常好用的不等式,此不等式可以從 更廣義的 測度論觀點來證明,且不僅僅局限於使用機率測度。 令 $L^1(\mu)$ 為所有可測函數 $g$ 滿足 $\int |g| d\mu <\infty$ 所成之集合, $\mu$ 為測度。 Claim: Chebyshev Inequality in Measure-Theoretic Setting 令 $g \in  L^1$ 且 $\alpha >0$ 則 \[ \mu (\{x:|g(x)| \geq \alpha\}) \leq \frac{1}{\alpha}\int |g| d\mu \] Proof: 令 $\alpha >0$ 觀察 \begin{align*}   \mu (\{ x:|g(x)| \geqslant \alpha \})  &= \int {{1_{\{ |g(x)| \geqslant \alpha \} }}} d\mu  \hfill \\    &= \int {{1_{\left\{ {\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1} \right\}}}} d\mu  \;\;\;\; (*) \end{align*} 其中 $1_A(x)$ 為 indicator function 滿足 $x\in A$ 則 $1_A(x) =1$ 反之則 $1_A(x) = 0$。注意到 \[\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1 \Rightarrow \frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant {1_{\left\{ {\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1} \right\}}}\]故 $(*)$ 改寫 \[\int {{1_{\left\{ {\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1} \right\}}}} d\mu  \leqslant \int {\frac{{|g(x)|}}{\alpha }} d\mu  = \frac{1}{\alpha }\int {|g(x)|} d\mu \]即為所求。$\sq