以下我們討論 為何 線性非時變 (Linear Time-Invariant, LTI) 系統 輸入與輸出關係 由 所謂的 convolution 表示。為了避免過多繁雜的數學,以下僅討論離散時間的情況。首先我們需要一些定義的幫助: ======================== Definition: Unit Impulse Function in Discrete-Time (Kronecker Delta) 我們說函數 $\delta: \mathbb{N} \to \{0,1\}$ 為 unit impulse function in discrete-time time 若 $\delta$ 滿足 \[\delta \left[ n \right] = \left\{ \begin{gathered} 1,\;\;\;\;n = 0 \hfill \\ 0,\;\;\;\; o.w. \hfill \\ \end{gathered} \right. \]======================== ======================== Definition: Impulse Response 給定任意系統配備輸入 $x[n]$ 與輸出 $y[n]$ 關係為 $y[n] = T\{x[n]\}$其中 $T$ 視為 operator (定義在某函數空間),若輸入為 $x[n]=\delta[n]$ 則 輸出 \[ h[n] := y[n] = T\{\delta[n]\} \]稱為系統 $T$ 的 脈衝響應 (impulse response) ======================== ======================== FACT: 任意離散訊號 $x[n]$ 可由 $\delta$ 做組合疊加,亦即 \[ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[i] \delta[n-k] \]======================== Proof: 證明顯然,在此不做贅述。$\square$ ======================== Definition: Linear System 給定系統 $T$ 滿足以下輸入與輸
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya