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[機率論] 求 一組獨立隨機變數最大值的期望值

給定 $X_1,...,X_n$ 為一組 i.i.d. 非負隨機變數,現在令 $M:=\max\{X_1,...,X_n\}$我們想問
\[
E[M] =?
\]

首先我們回憶
\[E[M] = \sum\limits_{k \geqslant 0} P (M > k) = \sum\limits_{k \geqslant 0} {\left( {1 - P(M \leqslant k)} \right)}
\]上述第一等式利用 非負隨機變數的期望值的性質(亦即若 $X$ 為非負隨機變數,則 $E[X] = \int_0^\infty P(X>x)dx$),在此不做贅述。現在注意到
\begin{align*}
  P(M \leqslant k) &= P\left( {\max \left\{ {{X_1},...,{X_n}} \right\} \leqslant k} \right) \hfill \\
   &= P\left( {\bigcap\limits_{i = 1}^n {{X_i} \leqslant k} } \right) \hfill \\
  & = P{\left( {{X_1} \leqslant k} \right)^n} \hfill \\
\end{align*} 上述最後一條等式成立 因為 i.i.d 性質。故我們得到
\begin{align*}
  E[M] &= \sum\limits_{k \geqslant 0} {\left( {1 - P(M \leqslant k)} \right)}  \hfill \\
   &= \sum\limits_{k \geqslant 0} {\left( {1 - P{{\left( {{X_1} \leqslant k} \right)}^n}} \right)}  \hfill \\
\end{align*}

[訊號與系統] Phasor Addition Theorem

首先回憶什麼是 Phasor:考慮一組弦波訊號 $x(t) = a \cos(2 \pi f t+ \phi)$,我們可將其表為
\[
x(t) = a \cos(2 \pi f t+ \phi) = Re\{A e^{j 2 \pi f t}\}
\] 其中 $A:= a e^{j \phi}$ 稱作 Phasor。

在訊號處理的時候,我們經常需要將弦波訊號做相加。如果兩組弦波訊號具有相同頻率,則相加的處理可以大幅簡化。更而甚之,若有 $n$ 組弦波訊號具有相同頻率相加,其結果可表為單一相同頻率弦波訊號 僅僅只有振幅 與 相位改變。此結果稱之為 Phasor Addition Theorem:

=======================
Phasor Addition Theorem: 存在 $A, \phi$ 使得
\[
\sum_{k=1}^N A_k \cos(\omega_0 t + \phi_k) = A \cos(\omega_0 t + \phi)
\]=======================
Proof:
首先觀察
\[{A_k}\cos ({\omega _0}t + {\phi _k}) = \operatorname{Re} \left\{ {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}{e^{j{\omega _0}t}}} \right\}
\]其中右式中的 複數 $A_k e^{j{\phi _k}}$ 稱之為 phasor ,故
\begin{align*}
  \sum\limits_{k = 1}^N {\operatorname{Re} \left\{ {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}{e^{j{\omega _0}t}}} \right\}}  &= \operatorname{Re} \left\{ {\sum\limits_{k = 1}^N {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}{e^{j{\omega _0}t}}} } \right\} \hfill \\
   &= \operatorname{Re} \left\{ {\left( {\sum\limits_{k = 1}^N {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}} } \right){e^{j{\omega _0}…