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[微分方程] 變動參數法 求解 二階 常係數 非齊次 微分方程

考慮二階線性非齊次微分方程
\[
L(y) := a_0 y'' + a_1y' + a_2y =f
\]其中 $a_0,a_1,a_2$ 為常數且 $f$ 為在某區間 $I$ 上有定義的任意函數,且 $L$ 為 linear operator。一般而言,求解二階線性非齊次 微分方程可透過 待定係數法 (Undetermined Coefficient Method)求解,然而此法僅適用於特定(常見)的外力函數 $f$,比如 $f= c t^k e^{mt}$ 其中 $c$ 為常數,$k$ 為非負整數,$m$ 為實數或者複數。但除此之外其他形式的 $f$,待定係數法並無法協助我們求解特解,故我們在此介紹一種更泛用的解法 稱作 變動參數法 (Variation of Parameter Method)來求解 二階 常係數 非齊次 微分方程 。

Comment:
此法事實上觀賞價值大於實用價值。因為對於任意高階 ODE 此法失效,但若讀者熟悉系統理論,可知道我們有更強大的工具來幫助我們求解 高階 ODE問題:亦即所謂狀態空間表示法 (State Space Representation),可以將任意高階ODE降為 一階 ODE 系統方程,再透過線性系統理論進行直接求解。


以下我們直接進入主題,考慮二階線性非齊次微分方程
\[
L(y) := a_0 y'' + a_1y' + a_2y =f
\]
現在令 $\phi_1$ 與 $\phi_2$ 為對 $L(y) = 0$ 的一組解基底,且令
\[
\psi := u_1 \phi_1 + u_2 \phi_2
\]其中 $u_1, u_2$為待定函數。(注意,上式中的 $u_1, u_2$ 不為常數而是以 $t$ 為變數的函數!)

現在觀察
\[\begin{array}{l}
\psi  = {u_1}{\phi _1} + {u_2}{\phi _2}\\
\psi ' = {u_1}'{\phi _1} + {u_1}{\phi _1}' + {u_2}'{\phi _2} + {u_2}{\phi _2}'\\
\psi '' = {u_1}''{\phi _1} + {u_2}'&#…

[微分方程] 二階常係數 線性 齊次微分方程

首先回憶標準二階微分方程 (2nd ODE)可表為
\[
y'' = f(t,y',y'')
\]現在我們考慮上述方程的一類重要的子集:二階線性常係數 齊次微分方程 (2nd Order Linear Constant Coefficient Homogeneous Ordinary Differential Equation) ,該子集的方程一般可寫作
\[
y'' + py' + q y = 0,\;\;\;\; -\infty < t < \infty \;\;\;\;\; (\star)
\]其中 $p, q \in \mathbb{R}$。讀者可注意到 我們仍處在線性 ODE 的世界,亦即對 $y,y'$ 與 $y''$ 皆線性。我們的目標是要對上述 ODE 就進行求解,亦即要找到某函數 $\phi(t)$ 對 $t \in (-\infty, \infty)$ 都滿足 $(\star)$ 。

Comments: 讀者也許會對於上述 $(\star)$ 為何稱之為 $y'' = f(t,y'=,y')$ 的一類子集感到疑惑,在此我們邀請讀者仔細檢查 $(\star)$,應可發現若令
\[
f(t,y,y') := -(py' + q y )
\] 則確實可看出 $(\star)$ 式 具有 標準二階 ODE 之形式。

以下定理給了我們一個重要的結果來界定 解的形式 與條件:

====================
Theorem: 令 $\phi_1(t)$ 與 $\phi_2(t)$ 在 $t \in (-\infty, \infty)$ 為對下列 二階微分方程的 IVP 問題:
\[
y'' + p y' + qy = 0, \;\;\;\; y(t_0) = y_0;\;\;\;\; y'(t_0) = v_0
\]的兩組解。則
(1) 對任意常數 $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$ 其線性組合 $c_1 \phi_1(t) + c_2 \phi_2(t)$ 亦為上述ODE之解。
(2) 除此之外,若下列行列式函數
\[\Delta \left[ {{\phi…