考慮二階線性非齊次微分方程 \[ L(y) := a_0 y'' + a_1y' + a_2y =f \]其中 $a_0,a_1,a_2$ 為常數且 $f$ 為在某區間 $I$ 上有定義的任意函數,且 $L$ 為 linear operator。一般而言,求解二階線性非齊次 微分方程可透過 待定係數法 (Undetermined Coefficient Method)求解,然而此法僅適用於特定(常見)的外力函數 $f$,比如 $f= c t^k e^{mt}$ 其中 $c$ 為常數,$k$ 為非負整數,$m$ 為實數或者複數。但除此之外其他形式的 $f$,待定係數法並無法協助我們求解特解,故我們在此介紹一種更泛用的解法 稱作 變動參數法 (Variation of Parameter Method) 來求解 二階 常係數 非齊次 微分方程 。 Comment: 此法事實上觀賞價值大於實用價值。因為對於任意高階 ODE 此法失效,但若讀者熟悉系統理論,可知道我們有更強大的工具來幫助我們求解 高階 ODE問題:亦即所謂狀態空間表示法 (State Space Representation),可以將任意高階ODE降為 一階 ODE 系統方程,再透過線性系統理論進行直接求解。 以下我們直接進入主題,考慮二階線性非齊次微分方程 \[ L(y) := a_0 y'' + a_1y' + a_2y =f \] 現在令 $\phi_1$ 與 $\phi_2$ 為對 $L(y) = 0$ 的一組解基底,且令 \[ \psi := u_1 \phi_1 + u_2 \phi_2 \]其中 $u_1, u_2$為待定 函數 。(注意,上式中的 $u_1, u_2$ 不為常數而是以 $t$ 為變數的函數!) 現在觀察 \[\begin{array}{l} \psi = {u_1}{\phi _1} + {u_2}{\phi _2}\\ \psi ' = {u_1}'{\phi _1} + {u_1}{\phi _1}' + {u_2}'{\phi _2} + {u_2}{\phi _2}'\\ \psi '' = {u_1}''
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya