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[數學分析] 淺談有限維度空間的 Linear Transformation

這邊介紹 $\mathbb{R}^n$ 空間的 線性轉換 (Linear Transformation)

但我們首先從無窮維任意向量空間開始定義:

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令 $X,Y$ 為任意 向量空間 (Vector Space):
Definition: Linear Transformation
我們稱 映射 $A : X \to Y$ 為 線性轉換 (Linear Transformation) 若下列條件成立:對任意 ${\bf{x}},{\bf{y}} \in X$ 與 純量 $c \in \mathbb{R}$,
\[\begin{array}{l}
A\left( {{\bf{x}} + {\bf{y}}} \right) = A{\bf{x}} + A{\bf{y}}\\
A\left( {c{\bf{x}}} \right) = cA{\bf{x}}
\end{array}\]======================

Comment: 1. 注意到上述符號: $A ({\bf x}) $ 表示 $A$ 作用在 ${\bf x}$ 上!!  並非乘法! 一般而言,若 $A$ 為 linear ,$A({\bf x}) $ 會記為 $A \bf x$ (讀者須避免與乘法造成誤會!)

2. 考慮 Linear transformation $A: X \to Y$ ,若 $\left\{ {{{\bf{x}}_1},{{\bf{x}}_2},...,{{\bf{x}}_n}} \right\}$ 為 $X$ 空間的 基底 (basis),則任意向量 ${\bf x} \in X$ 有唯一表示:
\[{\bf{x}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}{{\bf{x}}_i}} \]且由 Linearity of $A$ 可知
\[A{\bf{x}} = A\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}{{\bf{x}}_i}} } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}A{{\bf{x}}_i}} \]

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Definition: Linear Operator
Linear Transformat…