給定測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$我們說 某性質 $P$ almost everywhere 成立 意思是 對所有非零測度集合此性質 $P$ 都成立。(換言之,除零測度集之外,此性質 $P$ 都成立。) Lemma: 假設 $f(x) \geq 0$ 且 $f$ 為 $(\mathcal{M}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ 可測。假設 $\int f d\mu = 0$ 則 $f(x) = 0$ almost everywhere (i.e., $\mu\{x: f(x)>0\} = 0$) Proof: 令 $E:= \{x:f(x)>0\}$,我們要證明 $\mu(E) = 0$ 。為此,我們首先證明 $\mu(E_n) = 0$ 其中 $E_n :=\{x: f(x) > 1/n\}$。觀察以下事實 $\cup_n E_n = E$ 且 $E_n \uparrow E$。 觀察 \[ \mu(E_n) := \int 1_{E_n} \;\;\;\;(*) \]注意到對任意 $x\in E_n$,我們有 $f(x) > 1/n $,此等同於 $n f(x) > 1$ ,故對任意 $x\in E_n$, $nf(x) 1_{E_n}(x) > 1 \cdot 1_{E_n}(x)$ 。將此用到 $(*)$ 我們得到 \[ \mu(E_n) = \int 1_{E_n} < \int nf(x)1_{E_n} \leq \int nf(x) =n \underbrace{\int f(x) d\mu(x)}_{=0} \]亦即 \[ \mu(E_n) = 0 \]最後我們檢驗 $$\mu(E) = \mu(\cup_n E_n) = \lim_n \mu(E_n) = 0$$即為所求。$\square$ Lemma 2: 給定 測度空間 $(X,\mathcal{M}, \mu)$ 且 $\mu$ 為complete measure,若 $f$ 為 $(\mathcal{M},\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ measurable 且 $f=g$ almost everywhere
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya