跳到主要內容

發表文章

目前顯示的是 一月, 2019的文章

[測度論] 關於 Almost Everywhere

給定測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$我們說 某性質 $P$ almost everywhere 成立 意思是 對所有非零測度集合此性質 $P$ 都成立。(換言之,除零測度集之外,此性質 $P$ 都成立。)

Lemma:
假設 $f(x) \geq 0$ 且 $f$ 為 $(\mathcal{M}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ 可測。假設 $\int f d\mu = 0$ 則 $f(x) = 0$ almost everywhere (i.e., $\mu\{x: f(x)>0\} = 0$)

Proof:
令 $E:= \{x:f(x)>0\}$,我們要證明$\mu(E) = 0$ 。為此,我們首先證明 $\mu(E_n) = 0$ 其中 $E_n :=\{x: f(x) > 1/n\}$。觀察以下事實 $\cup_n E_n = E$ 且 $E_n \uparrow E$。

觀察
\[
\mu(E_n) := \int 1_{E_n}  \;\;\;\;(*)
\]注意到對任意 $x\in E_n$,我們有 $f(x) > 1/n $,此等同於 $n f(x) > 1$ ,故對任意 $x\in E_n$, $nf(x) 1_{E_n}(x) > 1 \cdot 1_{E_n}(x)$ 。將此用到 $(*)$ 我們得到
\[
\mu(E_n) = \int 1_{E_n} < \int nf(x)1_{E_n} \leq \int nf(x) =n \underbrace{\int f(x) d\mu(x)}_{=0}
\]亦即
\[
\mu(E_n) = 0
\]最後我們檢驗
$$\mu(E) = \mu(\cup_n E_n) = \lim_n \mu(E_n) = 0$$即為所求。$\square$


Lemma 2:
給定 測度空間 $(X,\mathcal{M}, \mu)$ 且 $\mu$ 為complete measure,若 $f$ 為 $(\mathcal{M},\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ measurable 且 $f=g$ almost everywhere 則 $g$ 亦為 $(\mathcal{M},\overl…

[測度論] Almost Uniform Convergence (1) 定義 與 經典例子

Definition: 令 $f_n, f$ 為 complex-valued measurable 函數,我們說 $f_n \to f$ almost uniformly 若下列條件成立:
對任意 $\varepsilon>0$,存在可測集 $E_\varepsilon$ 滿足 $\mu(E_\varepsilon)<\varepsilon$ 使得
\[
f_n \to f \text{ uniformly on $E_\varepsilon^c$}
\]換言之,$\sup_{x \in X\setminus E_\varepsilon} |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。

Example:
考慮 測度空間 $([0,1],\mathcal{L},m)$,取 $f_n(x) := x^n$ ,則
1. $f_n \not \to f$ uniformly
2. $f_n \to f$ almost uniformly

Proof 1.:
首先注意到 $$
\lim_n f_n(x) := f(x) =  \begin{cases}
      0 & x \in [0,1) \\
      1 & x = 1
   \end{cases}
$$ 觀察 $$
\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)| = 1 \not\to 0
$$故 $f_n \not\to f$ uniformly。$\square$

Proof 2: 令 $\varepsilon \in (0,1)$ 取 $E_\varepsilon :=(1-\varepsilon/2, 1]$ 則 $\mu(E_\varepsilon) = \varepsilon/2 < \varepsilon$ 且對任意 $x \in [0,1] \setminus E_\varepsilon$ 而言,
\begin{align*}
\sup_{x \in [0,1]\setminus E_\varepsilon} |f_n(x) - f(x)| &=  \sup_{x \in [0, 1-\varepsilon/2]}|x^n-0|\\
&=(1-\varepsilon/2)^n  \to 0 \;\; \t…