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[隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (1)

延續上篇 [隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (0),這次要來證明 Black-Scholes Formula
\[
{\scriptsize f(t,S_t) = S \Phi \left( \frac{\ln(S_t/K) + (r+\frac{1}{2} \sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}}\right) - K e^{-r (T-t)} \Phi \left( \frac{\ln(S_t/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}}\right)}
\]其中 $\Phi (\cdot)$ 為 Standard Normal Cumulative distribution function (CDF)

現在令 $x= S_t$,上述的 Black-Scholes Formula 確實為 Black-Scholes PDE 的解,亦即上式為下列PDE的解:
\[
rf(t,x) = {f_t}(t,x) + rx{f_x}(t,x) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,x){\sigma ^2}{x^2}
\]且滿足終端邊界條件 $f(T,x) = h(x), \ \forall x \in \mathbb{R}$


我們將分成下列幾個小步驟逐步完成此證明:


步驟1:首先證明下列等式成立:

Claim 1: $K e^{-r(T-t)} \Phi ' (d_2(T-t,x)) = x \Phi' (d_1(T-t,x))$
其中
\[
d_1 (T-t, x) =  \frac{\ln(x/K) + (r+\frac{1}{2} \sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}} \\
d_2 (T-t,x) =  \frac{\ln(x/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}} \\
\]
Proof
我們證明
\[
K e^{-r(T-t)} \Phi ' (d_2(T-t,x))- x \Phi' (d_1(T-t,x))=0
\]由於 $\Phi (\cd…

[隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (0)

這次要介紹 Black-Scholes Model for European Call option,也就是對於一個 歐式選擇權 (European Call option) 該如何為其制定價格。

由於 選擇權 本身是衍生商品的一種,也就是其本身的價值是隨某個標的資產 (Underlying asset)做變動,故如何對於此種衍生商品的做出合理的定價 (這邊所謂的合理指的是無套利機會的定價 亦即 No-arbitrage price) 就顯得相當不容易,在這邊我們考慮的是歐式股票選擇權,故其標的資產為股票,故可以想見此 European Call option 的定價在最後必定跟 股價有關,此定價公式被稱作 Black-Scholes Formula。在這邊我們需要兩種數學工具來幫助我們求解 Black-Scholes Formula:機率論隨機分析中的隨機微分方程 SDE 與 偏微分方程 PDE 求解邊界值問題



我們首先定義 $S_t$ 為在時間 $t$ 時的股價,且 $\beta_t$ 為在時間 $t$ 的債卷價格
且我們選取下列的隨機微分方程 (SDE) 來描述我們的 股價 與 債卷價格:

股票價格 模型: $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t$
債卷價格 模型: $d \beta_t = r \beta_t dt$

其中 $r$ 為無風險利率(risk-free interest rate),實務上多以 LIBOR 或者 Treasury bond 的利率作為 $r$。

注意到上式中,股價模型為幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion),債卷模型則是一個為連續複利的確定(非隨機)過程。(WHY? 注意到債卷模型為ODE,可直接求解)
\[\begin{array}{l}
d{\beta _t} = r{\beta _t}dt \Rightarrow \int_0^t {\frac{{d{\beta _t}}}{{{\beta _t}}}}  = \int_0^t {rds} \\
 \Rightarrow \ln {\beta _t} - \ln {\beta _0} = rt\\
 \Rightarrow {\beta _t} = {\beta _0}{e^{rt}}
\end{array}

[衍生商品] 常見的選擇權交易策略(1) - Asymmetric Butterfly Spreads

這次要介紹的是如何透過使用Call option 建構非對稱蝶式交易策略 ( Asymmetric Butterfly Spread)。
現在假設三個不同的執行價格滿足 $0<K_1 < K_2 < K_3$, 那麼 asymmetric butterfly spread 可以透過購買 $x$ 個 執行價格為 $K_1$ 的 call option ,與賣出 $y$ 個執行價格為 $K_2$ 的 call options,接著再購入 $y-x$ 個執行價格為 $K_3$ 的 call options at $K_3$ 建構而成

現在如果我們考慮透過上述方法建構而得的 asymmetric Butterfly Spread 其最大的 payoff 為 $h$ ,則我們可以繪製其對應的 payoff 如下圖所示


現在利用簡單的幾何關係 ( $x$ 與 $x-y$ 分別上圖的斜率)
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{h - 0}}{{{K_2} - {K_1}}}\\
x - y = \frac{{0 - h}}{{{K_3} - {K_2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{{K_3} - {K_2}}}{{{K_3} - {K_1}}}y
\] 亦即,Asymmetric Butterfly Spread 必須滿足上述條件,且我們即可使用 前述的方法建構 我們的Asymmetric Butterfly Spread 交易策略:

1. 購買 $x$ 個 執行價格為 $K_1$ call option ,
2. 賣出 $y$ 個執行價格為 $K_2$ 的 call options,
3. 再購入 $y-x$ 個執行價格為 $K_3$的 call options at $K_3$

Comments:
上述 $x, y$ 須為整數。


另外我們來看個 Claim:
===========================================
Claim: (Equivalent Cost of Symmetric Butterfly Spread )

令 執行價格為 $K_1 < K_2 < K_3$ 且 ${K_2} = \frac{{{K_3…

[衍生商品] 淺談 Binomial Pricing Model (1) -Two-steps tree

現在我們可以將 One step Tree拓展到 Two steps 的情況。
在前篇文章我們有提過,事實上如果把二項樹的step拓展到 無窮大,則Binomial pricing會收斂成為 Black-Scholes formula。

我們手上現在有兩種方法 (此兩種方法等價)來對選擇權進行定價:
1. Binomial Pricing:
2. Risk-Neutral Pricing:風險中性機率 $P$ 再任意二項樹的步都是定值 (因為投資人對風險漠不關心,故股票上漲或下跌對投資人來說沒有影響。故 $P$ 值不變).

先給個例子看看兩步的二項樹是怎麼回事:

Example
現在考慮一個 兩步的二項樹:

今日股價 $S_0 =20$,下圖二項樹的每一步中股價上漲 或者下跌 $10 \%$,假設二項樹中每一步長度$h$為3個月 $h=3/12$ (亦即兩步為 6個月 $T=6/12$),無風險利率 $r =12 \%$ p. a. (連續複利),考慮 執行價格為 $K=21$ 的 歐式 看漲選擇權 ( European Call option) 。



我們這邊使用 風險中性定價法求解 $f$:關於風險中性定價有興趣的讀者請參考
[衍生商品] 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing)

步驟如下:

1. 首先求解 (二項樹中 任意一步的) 風險中性機率 $P$:
其中 $r =0.12, h=3/12, u=1.1, d=0.9$,可解得
 \[
P = \frac{{{e^{r h}} - d}}{{u - d}} =0.6523
\]
2. 接著我們可以計算各節點的 看漲選擇權 價格:
首先計算 到期時 at expiration $T$ (6個月) 的 看漲選擇權 價格
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_{uu}} = \max \{ {S_T} - K,0\}  = \max \{ 24.2 - 21,0\}  = 3.2\\
{f_{ud}} = \max \{ {S_T} - K,0\}  = \max \{ 19.8 - 21,0\}  = 0\\
{f_{dd}} = \max \{ {S_T} - K,0\}  = \max \{ 16.2 - 21,0\}  = 0
\end{array} \right.
\…

[衍生商品] 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing)

現在介紹另外一種定價選擇權的方式。
稱作 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing)。

簡單說就是我們假設一個新世界,在這個世界中的投資人都為風險中性。

這是甚麼意思呢?

真實世界中,投資人大多為風險趨避者 (Risk-Averse);亦即投資人不喜歡風險。如果一旦有風險產生,投資人會要求額外的報酬當作補償 (風險溢價 Risk premium);但風險中性世界的假設是投資人對風險都持中性態度,亦即對風險並不關心。也就是說 若我們處在一個世界是投資者 對風險 不要求 任何額外的補償。則稱此世界為 風險中性 (Risk-Neutral) 世界

則我們可以定義 風險中性機率 $P$ 為風險中性世界中股價上漲的機率

現在考慮下面二項樹

上圖表示在 今日股價為 $S_0$ ,並且考慮在到期時間 $T$ 時,有機率 $P$ 預期股價會上漲成 $S_0 \cdot u$;或者有機率 $(1-P)$ 預期股價會下跌成 $S_0 \cdot d$

NOTE: 注意到上述的 $P$ 為前述定義的風險中性機率。

那麼對於 在到期時間 $T$ 時候的預期股價 $E\left[ {{S_T}} \right] $ 可以寫做:
\[E\left[ {{S_T}} \right] = {S_0}{e^{rT}} = P \cdot \left( {{S_0}u} \right) + (1 - P) \cdot {S_0}d
\]那麼我們可以把 今日股價 $S_0$ 寫成 對到期時間$T$時候,預期股價收益的折現:
\[
{S_0} = \left( {P \cdot \left( {{S_0}u} \right) + (1 - P) \cdot {S_0}d} \right){e^{ - rT}}
\] 由上式我們可以推得 風險中性機率 $P$ 如下:
\[
\Rightarrow P = \frac{{{e^{rT}} - d}}{{u - d}}
\]同樣的,我們也可以透過折現計算 今日 預期選擇權的價格 為 預期收益的折現:
\[
f = \left( {P \cdot {f_u} + (1 - P) \cdot {f_d}} \right){e^{ - rT}} \ \ \ \ (*)
\]

Comment:
1. 風險中性定價方法在計算選擇權價格 較 二項樹求解法容易…

[衍生商品] 淺談 Binomial Pricing Model (0) - One-step tree case

一般而言 選擇權(Option)的定價模型 大致上有兩種方法:
一種為 二項樹定價法 (Binomial Pricing)  另一種為 Black-Scholes Model (for continuous time)。

NOTE:
1. 事實上 Binomial pricing 取極限會得到Black-Scholes Model)
2. 二項樹定價法有另一個等價的方法求解較為簡便,叫做risk-netural pricng method,關於 risk-netural pricing model 有興趣的讀者可參閱BLOG相關文章: [衍生商品] 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing): 本文在此不討論此法。

這次要介紹的是 Binomial Pricing Method:來幫助我們找出合理的選擇權價格。
基本想法如下:
考慮市場為無套利機會(No-Arbitrage opportunity )的市場,則我們可以建構一組能產生與 選擇權相同的 payoff 的投資組合 。因為既然 payoff 相同則其價值必須相同( 由無套利機會假設兩者等價)。故此我們便可計算選擇權的(合理)價格。

以下為一個簡單的例子說明這個想法

Example
考慮 現時股價 $S_0 = \$ 20$,且已知三個月後股價要麼為 $S_u = \$ 22$ 或者 $ S_d = \$ 18$ (只有此兩種可能),另外考慮 無風險利率為 $r=12\%$ p.a. (採連續複利),

現在我們想估計
3個月後到期 ($T=3/12$)、 執行價格(Strike price) $K= \$21$ 的 看漲選擇權 (Call option) 價格應該是多少?

則我們可建構如下二項樹 (點圖放大):


上圖可以發現如果三個月後的股價為 $22$,看漲選擇權的payoff為 $\max\{S_T - K, 0 \} = \max\{22-21,0 \}=1 $;
反之如果三個月後的股價為 $18$ ,則看漲選擇權對應的payoff為 $\max\{S_T - K, 0 \} = \max\{18-21,0 \}=0 $

那麼現在想要回推 "今日" 看漲選擇權的合理價格應該是多少?

由之前的想法,我們可以建立一個投資組合來 "模仿" or &quo…