首先回憶 Contraction Principle。 Theorem: Contraction Principle 若 $(X,d)$ 為 complete metric space 且 $\Phi$ 為 contraction on $X$,則 $\Phi$ 有 唯一 不動點 $x^*$ (unique fixed point);亦即 存在 $x^* \in X$ 使得 $\Phi(x^*) = x^*$ 考慮 $K$ 為在 $[a,b]\times[a,b]$上 連續函數 現在我們定義 Volterra Integral $\cal K$ 如下 若 $\phi \in C([a,b])$,$\cal K: C([a,b]) \to C([a,b])$ 且滿足 \[ \mathcal{K}f(x):= \phi(x) + \lambda \int_a^x K(x,y)f(y)dy \] 利用 Contraction Principle 我們可以證明下面命題: Proposition: 對任意 $\lambda>0$,Volterra Integral $\cal K$ 有 fixed point on $C([a,b])$ with sup metric。 Proof: 我們要證明 Volterra Integral $\cal K$ 有 fixed point on $C([a,b])$,由於 $C([a,b])$ with sup metric 為 complete metric space,故若我們可以證明 $\cal K$ 為 contraction 則由 Contraction Principle 可知必有唯一不動點。 回憶 一個函數 $\Phi$ 為 metric space $(X,d)$ 上的 contraction 定義為:$\Phi:X \to X$ 且 存在 $c$ 滿足 $0 \le c <1$ 使得 $d(\Phi(x),\Phi(y)) \le c \cdot d(x,y)$。 故我們觀察 \[\begin{array}{l} d(K{f_1},K{f_2}) = \left\| {K{f_1} - K{f_2}} \right\|\\ \begin{array
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya