跳到主要內容

發表文章

目前顯示的是 七月, 2012的文章

[數學分析] Volterra integral 與 Contraction Principle

首先回憶 Contraction Principle。

Theorem: Contraction Principle
若 $(X,d)$ 為 complete metric space 且 $\Phi$ 為 contraction on $X$,則
$\Phi$ 有 唯一 不動點 $x^*$ (unique fixed point);亦即 存在 $x^* \in X$ 使得 $\Phi(x^*) = x^*$


考慮 $K$ 為在 $[a,b]\times[a,b]$上 連續函數
現在我們定義 Volterra Integral $\cal K$ 如下
若 $\phi \in C([a,b])$,$\cal K: C([a,b]) \to C([a,b])$ 且滿足
\[
\mathcal{K}f(x):= \phi(x) + \lambda \int_a^x K(x,y)f(y)dy
\]

利用 Contraction Principle 我們可以證明下面命題:

Proposition: 對任意 $\lambda>0$,Volterra Integral $\cal K$ 有 fixed point on $C([a,b])$ with sup metric。

Proof:
我們要證明 Volterra Integral $\cal K$ 有 fixed point on $C([a,b])$,由於 $C([a,b])$ with sup metric 為 complete metric space,故若我們可以證明  $\cal K$ 為 contraction 則由 Contraction Principle 可知必有唯一不動點。

回憶 一個函數 $\Phi$ 為 metric space $(X,d)$ 上的 contraction 定義為:$\Phi:X \to X$ 且 存在 $c$ 滿足 $0 \le c <1$ 使得 $d(\Phi(x),\Phi(y)) \le c \cdot d(x,y)$。

故我們觀察
\[\begin{array}{l}
d(K{f_1},K{f_2}) = \left\| {K{f_1} - K{f_2}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&…

[線性系統] 動態方程式的求解(3) - LTV state equation- Total Solution

延續前篇文章 [線性系統] 動態方程式的求解(2) - LTV state equation- Homogeneous solution,這次要介紹線性時變 (Linear Time Varying, LTV ) 系統的狀態方程的全解。


考慮下列 LTV 動態系統
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)}\\
{{\bf{y}}\left( t \right) = {\bf{C}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{D}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)}
\end{array}} \right.
\] 且假設  ${\bf{A}}\left( t \right)$ 為 $n \times n$ 且矩陣中每一項元素 都為對時間 $t$ 連續函數。

Comment:
1. 上式中 ${{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)}$ 稱為狀態方程 (State equation)
2. ${{\bf{y}}\left( t \right) = {\bf{C}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{D}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)}$ 稱為 輸出方程 (Output equation)

===================
Claim:
給定初始狀態 ${\bf{x}}\left( {{t_0}} \right)$ 與 輸入 ${{\bf{u}}\left( t \right)}$,則狀態方程 ${{\bf{\dot x}}\left( t \rig…

[線性系統] 動態方程式的求解(2) - LTV state equation- Homogeneous solution

這次要介紹線性時變 (Linear Time Varying, LTV ) 系統的狀態方程求解。

考慮下列 LTV 動態系統
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)}\\
{{\bf{y}}\left( t \right) = {\bf{C}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{D}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)}
\end{array}} \right.
\] 且假設  ${\bf{A}}\left( t \right)$ 為 $n \times n$ 且矩陣中每一項元素 都為對時間 $t$ 連續函數。

NOTE: 若上述對 ${\bf{A}}\left( t \right)$ 時變矩陣的連續性假設成立,則對任意初始狀態 ${\bf{x}}\left( {{t_0}} \right)$ 與任意輸入 ${{\bf{u}}\left( t \right)}$, 狀態方程有唯一解。
(Proof ommitted)

在我們進行求解之前,我們首先求解
\[
{{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right)}
\] 其中 ${\bf{A}}\left( t \right)$ 為 $n \times n$ 且每一個 entry 都為 對時間 $t$ 連續的函數。故對任意初始狀態 ${\bf{x}}_i\left( {{t_0}} \right)$  狀態方程存在唯一解 $ {{\bf{x}}_i}\left( t \right),\forall i = 1,2,...,n$ 。

我們可以將這些 $n$ 個解蒐集起來寫作矩陣形式如下:
\[{\bf{X}}\left( t \right): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\…

[機率論] 指示函數 ( Indicator function)

這次要介紹的是 指示函數( Indicator function),這個特殊函數在機率論與相關應用中佔有重要的腳色,其重要程度類似 step function, dirac function 在控制理論中的位置。 (事實上 Indicator function是更廣義的特殊函數,我們可以透過 Indicator function 來建構/逼近 各種函數)

==========================
Definition : Indicator Function of a Set A
一個 Indicator function of set A,我們用 $1_{A}(x)$表示,此函數定義如下
\[{1_A}\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x \in A\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x \notin A
\end{array} \right.
\]========================

以下是一些 Indicator function的例子

Example 1. : $1_{[a,b)}(x)$

Example 2. : $1_{(a,b]}(x)$
Example 3. Unit-Step Function 由單位步階函數定義: \[
u\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l} 1,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x \ge 0\\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x < 0 \end{array} \right.
\]我們可以把上式用 Indicator function表示:亦即 $u(x) = I_{ [0,\infty)}(x)$。


接著我們看個一些結果:
Theorem 1:
對任意 $A,B \subset \Omega$,下列結果成立:
\[\left\{ \begin{array}{l}
A = B \Leftrightarrow {1_A} = {1_B}\\
A \subset B \Leftri…

[線性系統] 動態系統 輸入-輸出描述

這次要介紹 動態系統的 輸入與輸出描述方法 (Input-Output Description) 或稱 I-O 關係,一般而言 一個 I-O 關係 事實上便是給定對 某動態系統 輸入與輸出之間的 "數學" 關係。


在討論 輸入輸出關係 之前,我們必須要對我們感興趣的動態系統 (這邊主要討論線性系統) 做些適當的假設:

在給定輸入之前 ( 亦即輸入為 0 ),系統必須為 "靜止" at rest ,此類系統稱為 鬆弛系統 (relaxed system),且 給定輸入之後,其對應的系統輸出 必須完全 由給定輸入決定 (無其他輸入源)。我們才能有效建立合理的 I-O關係。

現在令 $y$ 為量測輸出(measurement output), $u$ 為輸入 (input)。一般對於一個 鬆弛系統的 I-O 關係可簡單表為
\[
y= H u
\]其中 系統為 $H$。

在上式中我們可以想像 系統  $H$ 為一個 黑盒子 (black-box),亦即我們不清楚系統怎麼運作,但我們能做的就是盡可能給予各種不同的輸入 $u$,來 測量 對應的輸出 $y$。並且試圖找出 輸入 與輸出的關係 以合理描述系統的特性。


那麼由於這邊我們討論的主角系統為線性系統,故我們必須先給出什麼是線性系統的嚴格定義:

====================
Definition: Linear Relaxed System
一個 鬆弛系統 被稱為 線性 Linear 若且為若 對任意輸入向量 $u_1$ 與 $u_2$ 與 任意純量 $\alpha_1$ 與 $\alpha_2$ 具有下列線性關係
\[
H(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2) = \alpha_1 Hu_1 + \alpha_2 H u_2
\]====================

comments :
1. 上述線性關係可視為 如果我們把一個輸入 $\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2$ 輸入到系統 $H$ 之中,則此結果等價於各別
輸入 $\alpha_1 u_1$ 與 $ \alpha_2  u_2$ 到系統 $H$ 之中再將結果疊加起來。 此性質稱為重疊原理 (superposition principle) 或者線性關係的 加法性(ad…

[線性系統] 狀態回授控制 (0)

這次要介紹線性系統理論中的最重要也最實際的部分,稱為 狀態回授控制 (State Feedback Control)。一般而言一個動態系統在製造完畢之後,雖具有一定的性能,但對於設計者或者使用者而言,此性能可能遠遠不及需求。這時設計者可以額外設計 "控制器(Controller)" 或稱 補償器 (Compensator) (可能是透過電路實現或者軟體)來調整動態系統致所需性能目標。

上述提及的 控制器 我們用一個 控制律 $u(t)$ 描述。

基本想法是透過給定 狀態回授控制律 $u(t) = Kx(t)+ v(t)$ 並由使用者自行設計 增益矩陣 $K$ 來達成我們的控制目標。

現在 考慮動態系統以狀態空間表示如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu\\
y = Cx + Du
\end{array} \right.
\]其中 $x$ 為 $n \times 1$ (內部)系統狀態,$u$ 為 $m \times 1$ 控制力, $y$ 為 $r \times 1$ 量測輸出。

現在定義 狀態回授控制律(state feedback control law) 如下
\[
u = K x+  v
\] 其中 $K$ 為 $m \times n$ 回授增益矩陣(gain matrix),此矩陣為設計者依需求設計。$v$ 稱為額外輸入(auxiliary input)或稱參考命令。

將上述控制律帶回動態系統可得
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu\\
y = Cx + Du
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + B\left( {Kx + v} \right)\\
y = Cx + D\left( {Kx + v} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dot x = \left( {A + BK} \right)x + Bv\\
y = \left( {C + DK} \right)x + Dv
\end{a…