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[投資組合理論] Markowitz 最小變異 投資組合 之解

此文將討論 Markowitz 在1952年針對單期 報酬-風險 投資策略所建構的最小變異投資組合理論,簡而言之就是以期望報酬為報酬,風險變異(或者標準差)為風險,試問如何建構一組投資組合並對各資產給定適當的權重使得風險變異被最小化。推導過程會用到一些必要的最佳化與線性代數的知識。


Markowitz 的單期投資組合的描述:
假設在期初手上有 $V(0)>0$ 資產,現在我們打算在期初時購入 $n$ 種 互為相關 的風險資產 (correlated risky asset) 用以建構投資組合,其個別資產之隨機報酬 表為 $r_1,r_2,....,r_n$ 且對應的 期望報酬 為 $E[r_1], E[r_2],...,E[r_n]$ 與 風險變異 $Var(r_1), Var(r_2),...,Var(r_n)$ 且 資產之間的共變異 為 $ Cov(r_i,r_j),\;\; \forall \;  i,j=1,2,...,n$。

Comments:
為求分析簡便在以下分析中,我們建構的投資組合不考慮無風險資產 (risk-free asset),亦即 $Var(r) = 0$ 的資產我們不考慮。


投資策略: 
對於第 $i$ 資產之投資策略為對 $i=1,2,...,n$,令在期初之投資策略為 $I(0)$ 滿足
$$I_i(0) = K_i V(0)$$ 其中我們要求 $\sum_{i=1}^n K_i = 1$ (但允許 $K_i$ 為負值,亦即我們允許賣空)。

Comments:
一般投資書籍在討論上述投資策略或者廣義的資產配置問題時,多半僅稱呼 $K_i$ 為權重,且對於整體投資策略不多著墨。不過事實上,此類問題可以透過引入 控制理論 觀點,將投資策略視為標準回授控制 $I=KV$。


單期資產動態模型:
則我們打算持有單期 (比如說 一年) 則期末資產為
\[
V(1) = V(0) + \sum_{i=1}^n K_i r_i V(0)
\]則不難得知我們投資組合的期末報酬,記作 $r_p$ 可由上式推得為
\[{r_p}: = \frac{{V(1) - V(0)}}{{V(0)}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i}\]
並且回憶投資組合的期望收益率為
\[
E[{r_p}]  =  \sum\limits_…

[投資理論] 分散化投資有副作用嗎? - 以互不相關資產組合為例

假設今天我們考慮買入並持有僅僅某單一股票直到明年在賣出,那麼若明年股票大跌,則我們很容易血本無歸。一個避免血本無歸的說法為:不如我們改持有多個不同種類的股票來"分散化風險",來試圖達到降低這種遭受大跌打擊的危險。傳統西方諺語說: Do not put all your eggs in one basket 可以說是上述思想的最佳寫照,那麼我們想問以下兩個問題:

1. 分散化策略在數學上的建模為何?
2. 如果分散化確實能降低風險,是否有任何副作用?代價是什麼?

上述第一個問題在 [投資組合理論] 投資組合的 期望報酬 與 風險變異 已作出討論,以下本文試圖回答上述第二個問題,首先回憶投資組合理論中簡單的 Markowitz 單期投資問題

基本 Markowtiz's 的單期 投資問題:
令 $V(0)$ 為初始帳戶金額,現在我們試圖建構一組由 $n$ 個資產組成投資組合,並打算持有一年 (or 單期)後賣出,其中任意第 $i$ 個 資產之收益率記為 $r_i$ 。為了分析投資組合的報酬與變異,我們必需先建構投資策略,再進行審視此投資組合之報酬率與變異:亦即,在期初時,我們對第 $i$ 個資產的投資策略定為
$$
I_i(0) := K_i V(0)
$$ 其中 $\sum_{i=1}^n K_i = 1$ 。 則 一年後 (單期過後) 的帳戶金額 $V(1)$ 可以表為
\begin{align*}
  V(1) &= V(0) + \sum\limits_{i = 1}^n {{I_i}} (0){r_i} \hfill \\
   &= \left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i}} \right)V(0)
\end{align*} 也就是說 一年後 (單期過後) 投資組合之報酬為
\[{r_p}: = \frac{{V(1) - V\left( 0 \right)}}{{V(0)}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i} \]則投資組合的期望收益率為
\[
E[{r_p}] : = E\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^n…

[基礎機率論] 兩隨機變數的 共變異 與 相關性

在機率論的討論中,很多時候我們需要考慮多個隨機變數,一種情況是這些多個隨機變數彼此互為獨立,那麼其相關的數學運算可以被大幅簡化。但是若多個隨機變數彼此之間有一定程度的相關性,是否有一種合適的量化方法來衡量呢?以下我們給出所謂共變異的概念:


==============
Definition: 令 $X,Y$ 為兩隨機變數各自具備 有限期望值 $E[X],E[Y]$ 與有限變異數 $\sigma_X, \sigma_Y$ ,則我們可定義此組隨機變數 之共變異 (covariance),記作 $\sigma_{XY}$,表為:
\[
\sigma_{XY} := E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
\]==============

Comments:
1. [對稱性質]: 由上述定義,讀者應不難看出 $\sigma_{XY} = \sigma_{YX}$

2. [共變異數不必恆為正] :由上述定義,透過簡單的運算可得到
\[{\sigma _{XY}} = E\left[ {XY} \right] - E\left[ X \right]E\left[ Y \right]\]注意到此式為兩項相減,故暗示了 共變異數 可能為正值 亦可能為負值。

3. 上述對於 $X,Y$ 具有有限期望值與有限變異之條件可簡寫為 $X,Y \in L^2$ 其中 $L^2$ 為由所有隨機變數滿足 $E[X^2]<\infty$ 所組成之函數空間。為求簡便起見,以下我們討論涉及 $L^2$ 之處皆以 有限期望值 與有限變異 做為等價之論述。有興趣讀者請參閱 本 Blog 其他相關文章或者查閱相關機率論/隨機過程之教材。

4. 有部分文獻之作者習慣將共變異數 用符號 $Cov(X,Y)$ 取代 $\sigma_{XY}$,端看個人習慣與喜好。

5. 一但兩隨機變數之共變異被定義,那麼給定多個隨機變數,比如說 $X_1,X_2,...,X_n$。我們亦可求其兩兩成對之共變異,舉例而言,若欲求 $X_i, X_j$ 之共變異 (其中 $i,j \in \{1,2,...,n\}$ ) 即為
$$
\sigma_{ij} :=  E[ (X_i- E[X_i]) (X_j = E[X_j])]
$$
另外當 $i =j$ 讀者可自行驗證上述共變異退化為變異數。



一旦定義了共變異,我們可接著引入…