此文將討論 Markowitz 在1952年針對單期 報酬-風險 投資策略所建構的最小變異投資組合理論,簡而言之就是以期望報酬為報酬,風險變異(或者標準差)為風險,試問如何建構一組投資組合並對各資產給定適當的權重使得風險變異被最小化。推導過程會用到一些必要的最佳化與線性代數的知識。 Markowitz 的單期投資組合的描述: 假設在期初手上有 $V(0)>0$ 資產,現在我們打算在期初時購入 $n$ 種 互為相關 的風險資產 (correlated risky asset) 用以建構投資組合,其個別資產之隨機報酬 表為 $r_1,r_2,....,r_n$ 且對應的 期望報酬 為 $E[r_1], E[r_2],...,E[r_n]$ 與 風險變異 $Var(r_1), Var(r_2),...,Var(r_n)$ 且 資產之間的共變異 為 $ Cov(r_i,r_j),\;\; \forall \; i,j=1,2,...,n$。 Comments: 為求分析簡便在以下分析中,我們建構的投資組合不考慮無風險資產 (risk-free asset),亦即 $Var(r) = 0$ 的資產我們不考慮。 投資策略: 對於第 $i$ 資產之投資策略為對 $i=1,2,...,n$,令在期初之投資策略為 $I(0)$ 滿足 $$I_i(0) = K_i V(0)$$ 其中我們要求 $\sum_{i=1}^n K_i = 1$ (但允許 $K_i$ 為負值,亦即我們允許賣空)。 Comments: 一般投資書籍在討論上述投資策略或者廣義的資產配置問題時,多半僅稱呼 $K_i$ 為權重,且對於整體投資策略不多著墨。不過事實上,此類問題可以透過引入 控制理論 觀點,將投資策略視為標準回授控制 $I=KV$。 單期資產動態模型: 則我們打算持有單期 (比如說 一年) 則期末資產為 \[ V(1) = V(0) + \sum_{i=1}^n K_i r_i V(0) \]則不難得知我們投資組合的期末報酬,記作 $r_p$ 可由上式推得為 \[{r_p}: = \frac{{V(1) - V(0)}}{{V(0)}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i}\] 並且回憶投資組合的期望收益率為
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya