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目前顯示的是 十一月, 2013的文章

[投資理論] 利率 與連續複利 問題

這次要介紹 投資理論中一個重要但又容易搞混的概念:利率 (Interest Rates)

首先是關於 無風險利率 (Risk-free interest rates)
一般而言被當作是無風險利率主要有兩種:
Treasury ratesLIBOR (London Interbank Offered Rate)Treasury rates:
主要是由投資人購買Treasury securities, e.g., Treasury bond, Treasury notes 所採用的利率。
LIBOR:
中文稱作 倫敦銀行同業拆息 為英國銀行間的短期資金借貸款採用的利率。此利率每個營業日都可能不同。

有了以上的概念之後,我們來思考一件事,就是 Interest Rates 該如何計算?
================== Example: (Compounding Frequencies matters) 考慮將現金量 $A_0$ 放置某銀行存款,且其年利率 $10 \%$,則一年之後 $A_1$會得到多少錢回來呢??
在回答這個問題之前,必定要先問 此利率的計息次數 (Compounding frequencies) 是怎麼定的。比如說是一年計算利息一次? 還是半年計息一次? 還是三個月計息一次。
以一年計息一次為例,則一年後可得回的金額為 \[ A_1 = A_0 (1 + 10 \%)^1 \]若以一年計息兩次 (亦即半年計息一次)為例,則一年後可得回的金額為 \[ A_1 = A_0 (1 + \frac{10 \%}{2})^2 \]若以一年計息四次 (亦即三個月計息一次) 為例,則一年後可得回的金額為 \[ A_1 = A_0 (1 + \frac{10 \%}{4})^4 \]
現在考慮如果 年利率 $r \%$ 為每年計息 $m$ 次,則一年後可得回的金額為 \[
A_1 = A_0 (1 + \frac{r}{m})^m
\]那麼現在如果 $t$ 年後呢?
\[
A_t = A_0 (1 + \frac{r}{m})^{mt}
\]

有了上述概念之後,我們來考慮如果年利率為 $r \%$,且每年計息 $\infty$ 次,則我們稱此利息為連續複利(continuous compounding interest rate, $r_c$ ),其與前述複利 $r$ …

[隨機過程] 隨機過程淺淺談(III) - Brownian motion (or Wiener Process)

這次要介紹的是 隨機過程中一個極為重要的過程,稱作
布朗運動(Brownian motion) or 維納過程(Wiener process)

介紹定義之前先看一下 布朗運動 長什麼樣子 上圖黑線部分即為布朗運動的實現 (Realization);或稱 sample path。 可以發現
Brownian motion 的 sample path 非常不規則(very wiggly),(此不規則性質將導致對任意一處都無法微分)Brownian motion 隨著時間增大的時候,其散開程度 (之後會用 variance 描述) 越明顯
有了上述直覺之後我們看定義會比較清楚。

以下是 Brownian motion 的定義 =================== Definition: (Standard Brownian Motion or Wiener Process) 一個實數連續時間的隨機過程 $\{ B_t\}_{0 \leq t < \infty}$ 為一個標準布朗運動(Standard Brownian Motion),如果其滿足下列四個性質:

(1) $B_0 =0$ almost surely (亦即: 機率 $P(\{B_0 =0\}) =1$)

(2) 考慮時間區間 $(t_1,t_2], (t_2,t_3],...(t_n,t_{n+1}]$ 互為分離(disjoint)的區間,則其對應的增量增量彼此獨立;亦即對任意 $0=t_0 < t_1 < ... < t_n$,隨機變數 \[
\{ B_{t_1} - B_{t_0}, B_{t_2} - B_{t_1}, ..., B_{t_n} - B_{t_{n-1}} \text{are independent}\}
\](3) 布朗運動的增量服從高斯分佈;亦即$B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,t-s)$

(4) 對 almost every $\omega$ 而言,$t \mapsto B_t(\omega)$ 為連續;亦即
\[
P(\{ \omega \in \Omega: B_t(\omega) \text{ is a continuous function of $t$}\}) =1
\]
==========================…

[隨機過程] 隨機過程淺淺談(II) - 波松過程 Poisson process

這是要介紹的是 波松過程 (Poisson Process),他其實就是我們之前介紹的 計數過程(Counting process) 的一種 (詳見 隨機過程淺淺談(I) - 計數過程Counting process)

那麼我們先把定義給出

===========================
Definition: (Standard Poisson Process)
我們把一個計數過程 $\{ N_t, t \geq 0 \}$ 稱做 波松過程 如果下列三個條件滿足:
$N_0=0$ (with probability 1),也就是說 $N_0$ 是一個常數 $0$ 隨機變數對任意有限時間點 $0 \leq s < t < \infty $,其計數增量(increment) $N_t- N_s$ 是一個 波松 隨機變數 (Possion random variable) 伴隨 參數為 $\lambda (t-s)$;也就是說其 機率質量函數:\[ P(N_t-N_s=k) = \frac{[\lambda(t-s)]^k e^{- \lambda (t-s)}}{k!}, k=0,1,2...\]且計數增量的期望值 $\mathbb{E}[N_t-N_s]=\lambda(t-s)$ 其 變異數為 $var(N_t-N_s)=\lambda(t-s)$上式中的 $\lambda$ 代表 波松過程的 發生率(rate) 或者 強度(intensity)如果考慮時間區間 $(t_1,t_2], (t_2,t_3],...(t_n,t_{n+1}]$ 為分離(disjoint)的區間,則其對應的增量
$N_{t_2} - N_{t_1}$ , $N_{t_3}-N_{t_2}$,...$N_{t_{n+1}} - N_{t_n}$ 全為獨立(independent)。也就是說 波松過程 具備 獨立增量(independent increment),也就是在分離時間區間中的發生次數互為獨立 ===========================

下圖顯示了 one sample path of Poisson process (jump time $S_1, S_2,...$)


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FACT: Mean an…

[分享] 聖靈感動、方言與積極態度的討論

此文為個人回覆會友對於 "聖靈感動、方言與積極態度" 等等 的討論
以及個人一些看法
===================
Question:
認識一些人他們聚會說那聖靈充滿,然後一些人會有許多倒地失控的狀態,或者強調導告要說方言才算聖靈充滿,對這些我一直在腦中打問號,可是如果當我們說一些不完全支持的言論,感覺這些人就防衛了起來,然後認為是我們不懂⋯這是否合聖經教導呢?
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ANS:
我要強調一點,因為聖靈在我捫心中動工,也許當下自然而然有感動流淚,這當然很好。

但這絕對不代表 沒有感動流淚 就是聖靈沒動工,就是聖靈不同在。
更 不代表沒有說方言、沒有跟著倒下、沒有翻滾、沒有呼天喊地 就是聖靈不同在

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額外關於方言與聖靈的解說:

要知道聖經對這方面是非常保留的。使徒保羅曾說:要說方言可以,旁邊的人要能"解"方言,如果不能解,不過就是一堆奇怪的嗓音鬼扯+自high罷了..
.
林前12:10 又叫一人能行異能,又叫一人能作先知,又叫一人能辨別諸靈,又叫一人能說方言,又叫一人能翻方言。

林前12:28 神在教會所設立的:第一是使徒,第二是先知,第三是教師,其次是行異能的,再次是得恩賜醫病的,幫助人的,治理事的,說方言的。

林前12:30 豈都是得恩賜醫病的嗎?豈都是說方言的嗎豈都是翻方言的嗎

又說

林前14:13 所以那說方言的,就當求著能"翻"出來。
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林前14:19 但在教會中,寧可用悟性說五句教導人的話,強如說萬句方言。

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以下關於積極不積極的討論
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我反對成功神學 但我支持應該要有積極態度
差別在哪? 差別在於 成功神學認為你只要信了耶穌就能解決所有問題 直接轉職昇天(到底在信什麼都搞不清楚? ..)

但我所謂的積極態度是指,在面對各種挑戰/苦難/疾病/貧乏 也能繼續勇敢面對的態度!這是本分問題。我們本來就要努力過每一個日子。因為聖經很明白的寫了

提前4:10 我們勞苦努力,正是為此,因我們的指望在乎永生的神;他是萬人的救主,更是信徒的救主
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太11:12 從施洗約翰的時候到如今,天國是努力進入的,努力的人就得著了。
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願神幫助我們

[分享] 宣告、吸引力法則等等,是自我催眠或是真有功效?

此文為個人回覆會友對於 "宣告、吸引力法則等等禱告策略 的討論
以及個人一些看法

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Question :  宣告、吸引力法則等等,到底是自我催眠或是真有功效⋯? --------------------------------------- ANS:
以歸正神學的角度來看,必須要很嚴正的說 關於一切這類 【宣告、吸引力法則、方言、內在醫治、幻視成真、正面積極思想、聖靈充滿+淚流滿面地上翻滾、生病/遭禍全都怪到魔鬼撒旦身上、被牧者按手就撲倒在地,沒倒還會被說不屬靈、或者各種稀奇古怪用感情超過理性的敬拜方式】
上述泛屬成功神學的教導,都是非常 "不" 正確的 (這邊正確標準只有一個,就是以聖經作為標準) 。追求神的真道不該是讓 感情超過理性,不過現今教會還是 太多太多人在吹捧類似的教導。因為
1. 人們愛聽成功、積極、正面 的教導、最好就是那種專講 信耶穌就百病得醫治、錢財滾滾來、諸事大吉之類的廢話... (但聖經明明就寫人生在世會有苦難 怎麼不提呢?)
2. 人們愛聽上帝的 愛與憐憫,卻不喜歡聽上帝的罪與罰,最好就是專講 犯罪沒關係,反正神愛我 (但聖經明明除了寫 神的愛與憐憫 更有寫著 "神的公義" 怎麼不提呢?);以歸正神論或者聖經的觀點而言,要知道基督徒之所以為基督徒,是因為在萬世以前就受神蒙恩受揀選,但因為我們都是罪人,如果沒有神的憐憫。得到神的公義 不過就是剛好而已。
3. 世人不要神,只想要世界的成功 (想要控制神讓自己成功)



這是人之常情,但卻是我們亟需努力操練的部分,願主幫助我們;

後記: 雖然筆者自認懂的聖經/神學實在是少得可憐,但對於正面積極思想/成功神學 這塊的反對卻是極為肯定。想要親自認識神國的道理? 真的,先好好自己拿起手邊的聖經開始讀,好好思想。千萬不要因為某某牧師的名氣;或者所說的道理剛好很合你心,就開始盲目的跟從。神賜給我門智慧,是要我們自己去追尋真理,去真實的認識神,去明辨是非對錯。絕非單單盲從。
如果有心想要了解 "歸正神學" (簡單說就是 凡事回歸聖經、強調罪與悔改,用聖經當作標準來檢驗各事的神學);不過這種神學對於現今時代其實非常的不討喜,因為很容易讓聽的人不開心or不如聽成功神學開心。有興趣 也許有機會我們可以再多多討論
願神的道 光照我們 因為經上記著說…

[隨機過程] 隨機過程淺淺談(I) - 計數過程Counting process

首先給出 計數過程( Counting Process )的定義如下

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Definition: Counting Process
我們說一個 計數過程 $\{N_t, t \geq 0\}$ 是一個從時間 $0$ 到現在時間 $t$ 計算某事物發生次數的 隨機過程
========================

注意定義中所指的事物可以想成表示為任何可以計數的事,其在 時間 從 $0$ 到 $t$ 發生的次數 我們把他叫做 $N_t$ (你也許會問,為何要叫 $N_t$ 其實很簡單就是英文 Number 的縮寫

舉例來說,我們可以把 $N_t$ 想成某網站從開站至今的點擊次數;或者汽車通過收費站的次數

好了,這個定義其實不是很直覺,我們來看張 計數過程 示意圖也許會清楚一點

上圖中橫軸是時間 $t$,縱軸是某事件發生到該時間的(累計)次數 $N_t$, 觀察上圖,我們可以發現一些現象
階梯狀的計數,表示次數逐漸增加(每計數一次就 $+1$)時間 $T_i$是隨機的,也就是 計數過程 隨機的部分是在於我們不知道某事件到底會在什麼時候發生計數過程 是右連續(簡單說就是 上圖對任易計數的右方逼近可以得到實黑點EX: 在時間 $T_2$ 計數為 $2$ 不是 $1$)
Comments
1. 現在假設 給定我們關心的計數時間為 $0 \leq t_1 \leq t_2 < \infty $ (也就是說我們不考慮無窮久的情況),然後我們想要知道在時間 $t_1$ 與 $t_2$ 之間,我們所關心的某事物(比如網站點擊率)發生的次數有多少。那麼我們該如何計算呢?

由前方定義我們知道 $N_{t_2}$ 表示的是在 時間從 $0$ 到 $t_2$ 發生的次數
同樣的, $N_{t_1}$ 表示的是在 時間從 $0$ 到 $t_1$ 發生的次數

所以如果我們把 $N_{t_2}$ 與 $N_{t_1}$ 相減,也就是 $N_{t_2} - N_{t_1}$,那我們得到的就是 在時間從 $t_1$ 到 $t_2$ 的發生次數 (看圖)

2. 我們把 $N_{t_2} - N_{t_1}$ 叫做 計數過程的 增量(increment)


[延伸閱讀]
[數學] 隨機過程淺淺談(0)-先備概念
[數學] 隨機過程淺淺談(II) - 波…

[整理] 金融名詞-證卷市場

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th  的一些專有名詞 公司如何發行證卷?首次公開募股(Initial Public Offering, IPO)增發(再次發行)

1. 一級市場 (Primary markets)
用於發行新證卷的市場,通常由 投資銀行(investment banker) 進行證卷發行
-IPO 與 增發 皆在此市場完成

2. 二級市場 (Secondary markets)
投資人買進/賣出已發行之證卷所在的市場稱為二級市場 (investor trading issued securities, after IPO, for already-existing securities)
-corporation sell stock in primary stocks, while investors buy stock from other investors in the secondary market

3. 承銷商 (underwriter)
從發行公司處購買證卷並將證卷再次販售出去的公司

下圖顯示了在證卷發行過程中,發行公司、主要承銷商、與公眾之間的關係


4. 募股說明書(Prospectus)
對公司及其發行股票的描述,須由證卷交易委員會(SEC)批准

5. 私募(Private placement)
不公開的首次發行,公司股票直接被出售給一小部分的機構或者富有的投資者。

6. 首次公開募股IPO (the first time a company sells stock to public)
-SEO (seasoned equity offering, an issuance of stock has already undergone an IPO)

交易市場的種類直接交易市場(Direct search markets): ex: used car, used refrigerator, rare coins經紀人市場(Brokered markets):ex: real estate, primary market, block trading (the developing country use this market)交易商市場(Dealer markets)ex: bonds trade …

[投資理論] 效率市場假設

效率市場假設(Efficient Market Hypothesis, EMH)

今天想跟大家分享一下投資理論(Investment Theory)中的 「效率市場假設」。

簡單的說,這是一個對於金融市場的"假設" (也就是還在爭執中,並非已經被證實的定理)。
那麼既然不過只是個假設為什麼要了解他呢? 因為效率市場的行為確實在某種程度上存在,特別是在已開發國家的金融市場中。以及競爭激烈的 Wall street。

以下我們先看個例子 [1]
下圖為2002年,J.A. Busse and T.C. Green, 發表的文章: Market Efficiency in Real Time, Journal of Financial Economics,指出了一個很有趣的發現,也就是他們觀察美國 CNBC TV 午間評論中,當日被評論提及的公司平均股價,對於消息發布的時間反應圖


橫軸(Minutes relative to mention) 為消息發布後的時間(0表示消息發布的當下,10表示消息發布的10分鐘後)。 縱軸(cumulative return (%)) 為被評論提及的公司平均股價的收益 實線(Midday-Positive) 代表如果CNBC評價為正面時,出現在正面評價報導中的公司平均價格反應, 虛線(Midday-Negative) 代表CNBC評價為負面時,出現在正面評價報導中的公司平均價格反應。
可以看出在 15 分鐘左右消息就已經反應在股票價格上面 (正面評價的平均股價收益大約 5分鐘以內就已經進入穩態,負面消息的平均股價收益在12分鐘之後還持續下降? 也許壞消息傳的比較慢 :-) )
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由上述的例子可以看出,效率市場假設 傳遞出一個概念
任何可得的 資訊/消息/情報,全部都應(立即)反映在金融商品的市場價格上

那麼甚麼是 "效率" 市場

所謂的效率 意指 市場反映出 "可得資訊" 的程度。然後效率市場假設任為金融商品的市場價格全部都由"可得訊息"反應出來。

依照資訊可得的程度分類,可以分成不同等級的效率市場假設
弱-效率市場假設 (Weak-form EMH): 假設所有可得的資訊 僅為過去金融市場交易的歷史資料。(便宜低廉,且所有人都非常容易獲得)半強-效率市場假設 (…

[隨機過程] 隨機過程入門-先備概念

此文主要介紹隨機過程的定義,基本上建議讀者需要先對機率論有一些基本了解。比如說如果有一點 隨機變數 (可測函數) 與 $\sigma$-algebra 的基本認識,那麼在之後接觸較為抽象的概念時會比較容易上手,有興趣的讀者請參閱此文:[測度論] Sigma Algebra 與 Measurable function 簡介


隨機過程 在概念上其實並不複雜(雖然數學上很複雜...),簡單說就是把很多的隨機變數蒐集起來並加上時間指標。嚴格來說:隨機過程 (Random process) or (Stochastic process) 是一個 隨機變數的集合(家族),一般通常可分為 離散時間 與 連續時間 的隨機過程來討論。


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Definition: 離散時間 隨機過程 (Discrete-time stochastic process)
一個離散時間隨機過程是隨機變數 $\{X_n\}$ 的集合,其中 $n$ 的範圍落在給定的整數集合中 ($n$ 想成是(離散的)時間指標)。
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Example 比如說下列都是離散時間隨機過程
$\{X_n, n=1,2,...\}$ 或者 $\{X_n, n=0,1,2,...\}$, 或者 $\{X_n, n=0, \pm 1, \pm2,...\}$


Comments:
1. 隨機變數 既不隨機也不是變數,他的本質是一個函數!!
2. 上述定義中,隨機變數 必須定義在機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$
因為 隨機變數是一個定義在樣本空間 $\Omega$的函數,我們可以有兩種方法來看待 $X_n(\omega)$
將 $n$ 固定住,則 $X_n(\omega)$ 為 $\omega$ 的函數 且為一個隨機變數將 $\omega$ 固定住,則 我們可以得到一系列的數 $X_1(\omega), X_2(\omega), ...$此系列稱作對一個隨機過程的 實現(realization),或者稱作 隨機過程的取樣路徑(sample path),或者 隨機過程的取樣函數(sample function) 先看張圖感受一下甚麼是隨機過程的實現:
上圖為五種不同的 離散隨機過程 (或稱 時間序列) 的sample path。 Whi…