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[最佳控制] Optimizing Multistage Functions - Forward/Backward Dynamic Programming

Life can only be understood going backwards, but it must be lived going forwards. --- Kierkegaard.

考慮一組變數 $w,x,y,z$ 且我們希望最佳化下列的成本函數
\[
f(w,x) + g(x,y) + h(y,z)
\]讀者可已注意到上述的成本函數中有特殊的結構,亦即每一項只有兩個變數。

Backward Dynamic Programming
若我們考慮 $w$ 固定,則上述最佳化問題
\[
\min_{x,y,z} f(w,x) + g(x,y) + h(y,z)
\]可以改寫為 分別最佳化的子問題
\[\mathop {\min }\limits_x \left[ {f(w,x) + \mathop {\min }\limits_y \left[ {g(x,y) + \mathop {\min }\limits_z h(y,z)} \right]} \right]\]故我們可以先解最內部的最佳化問題並得到對應的最佳解 $z^*$ 與 最佳解對應的成本值 $h^*$
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_z h(y,z): = {h^*}\left( y \right)\\
\arg \mathop {\min }\limits_z h(y,z): = {z^*}\left( y \right)
\end{array} \right.\]接著我們求解第二部分的 最佳化的子問題
\[\mathop {\min }\limits_y \left[ {g(x,y) + {h^*}\left( y \right)} \right]\]其對應的解
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_y \left[ {g(x,y) + {h^*}\left( y \right)} \right]: = {g^*}\left( x \right)\\
\arg \mathop {\min }\limits_y \left[ {g(x,y) + {h^*}\left( y \right)} \right]: = {y^*}\left( x \right)
\end{…

[數學分析] 函數的單調性質(0)-淺論

令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為函數,

Definition: 我們說 $f$ 為單調遞增 (Monotone increasing) 若下列條件成立:
若 $x_1 < x_2$ 則 $f(x_1) \le f(x_2)$
我們說 $f$ 為單調遞減 (Monotone decreasing) 若下列條件成立:
若 $x_1 > x_2$ 則 $f(x_1) \ge f(x_2)$

我們稱 $f$ 為 單調 (Monotone) 若 $f$ 為單調遞增 或 單調遞減。

以下我們看兩個經典的例子:

Example:
1. 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = c$ 且  $c \in \mathbb{R}$ 則此常數函數 既為單調遞增 亦為 單調遞減。
2. 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = |x|$ 則此絕對值函數 並非單調遞增或單調遞減。
但注意到若我們修正絕對值函數的定義域,比如說 令 $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = |x|$ 則此絕對值函數 成為 單調遞增 (讀者可自行證明此性質在此不贅述)。

以下我們給出幾個單調函數重要的結果:


===============
Fact:
1. 若 $f, g$ 為在區間 $I \subset \mathbb{R}$ 上的遞增函數,則 $f+g$ 亦為在 $I$上 遞增函數
2. 若 $f, g$ 為在區間 $I \subset \mathbb{R}$ 上的遞減函數,則 $f+g$ 亦為在 $I$上 遞減函數
===============

Proof: 
我們只證明 (1), (2) 留給讀者作為練習。

現在要證明  $f+g$ 在 $I$ 上遞增,故由定義出發,令 $x_1,x_2 \in I$ 且 $x_1 < x_2$,則由於 $f, g$ 在區間 $I$ 上遞增,故我們有
\[
f(x_1) \le f(x_2)
\]且
\[
g(x_1) \le g(x_2)
\]
現在我們觀察其和,可知
\[
f(x_1) + g(x_1) \le f(x_2) + g(x_2)
\]上述不等式表明 $f+g$ 在 $x_1…

[線性系統] 離散時間狀態空間模型 與其解

一般若需要將控制系統透過 電腦 實現控制力 或者 對連續時間系統進行取樣,則我們稱此類系統為 電腦控制系統 或稱 數位控制系統。這次我們要介紹如何從連續時間模型 將其 透過適當的數學操作,從而獲得其對應的離散化的模型。

現在考慮有限維 線性非時變 連續時間狀態空間模型如下:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot x\left( t \right) = A_cx\left( t \right) + B_cu\left( t \right);\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}x\left( 0 \right) = {x_0}\\
y\left( t \right) = C_c x\left( t \right) + D_cu\left( t \right)
\end{array} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\star)
\]注意到上述狀態空間模型含有微分項 $\dot x$,若我們想要透過電腦實現微分方程,則我們需將其進行 離散化(Discretization)
\[\dot x\left( t \right): = \mathop {\lim }\limits_{\Delta  \to 0} \frac{{x\left( {t + \Delta } \right) - x\left( t \right)}}{\Delta }\]則前述連續時間的狀態方程 $(\star)$ 可表為
\[\begin{array}{l}
\dot x\left( t \right) = {A_c}x\left( t \right) + {B_c}u\left( t \right)\\
 \Rightarrow x\left( {t + \Delta } \right) - x\left( t \right) = {A_c}x\left( t \right)\Delta  + {B_c}u\left( t \right)\Delta \\
 \Rightarrow x\left( {t + \Delta } \right) = x\left( t \right) + {A_c}x\left( t \right)\Delta  + {B_c}u\left( t \right)\D…