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目前顯示的是 二月, 2014的文章

[最佳化] 牛頓法 (Generalized Newton Raphson Algorithm)

這次要介紹的是 Generalized Newton Raphson Algorithm (or so called Newton Method)

想法:透過二次函數近似 (quadratic fit) 目標函數 $J(u)$ 並以此找出最小值。


現在考慮在時間 $k$ ,我們有 $u^k \in \mathbb{R}^n$ 與對應的成本函數 $J(u^k)$;

現在如果我們讓 $u^k$ 受到一點擾動 $\Delta u := u^{k+1} - u^k$,也就是說受到擾動的成本函數可寫為
\[
J(u^k + \Delta u)
\]假設我們的目標函數 $J(u) $ 是個平滑函數(smooth function),那麼我們可以對其做泰勒展開( Taylor Expansion )。故現在透過 Taylor Expansion 對上式展開 (只展開到第二項,忽略其餘高階項:因為我們的想法是利用二次函數近似,故高階項忽略),我們得到
\[
J(u^k + \Delta u) = J(u^k) + \nabla J(u^k)^T \Delta u + \frac{1}{2} \Delta u^T \left ( \nabla^2 J(u^k)^T \right) \Delta u + H.O.T.
\]其中H.O.T為高階項 higher order term。我們將其忽略不計

現在由於我們欲求極小值(最佳化),故透過一階必要條件(FONC):
\[
\nabla J(u^k) |_{\Delta u = \Delta u^*}= 0
\] 亦即對 $\Delta u$ 求一階導數並令其為 $0$ 可得
\[
\left ( \nabla J(u^k) +  \nabla^2 J(u^k) \Delta u \right) |_{\Delta u = \Delta u^*} =0
\]整理上式可得
\[ \Rightarrow \Delta u^* =  - {\left[ {{\nabla ^2}J({u^k})} \right]^{ - 1}}\left( {\nabla J({u^k})} \right)
\] 又由擾動定義 $\Delta u := u^{k+1} - u^k$,我們可將上式進一步改寫
\[\begin{array}{l}
{u^{k + 1…

[衍生商品] 期貨的基差風險 (Basis Risk)

一般而言,在期貨(Futures)的世界裡面,其無法達到完全避險(Perfect Hedging)的主要原因 (也就是基差風險)有兩個:

標的資產不匹配 (Underlying Asset Mismatch)到期時間不匹配 (Expiration Date Mismatch)
WHY!?

下圖是期貨價格 與 標的資產 即期價格(spot price)的變動情形,也就是 基差風險 隨時間的變化。可以發現在到期時刻 $t_2$ 的時候兩者合一 (也就是到期的時候才 "匹配" ,之前都 "不匹配" )。



Comments: 
標的資產不匹配:一般而言,投資人(個體OR公司)希望避險的 標的資產(Underlying asset) 不一定找的到與其完全匹配的期貨。比如說某航空公司 要避險的標的資產是飛機的航空煤油(Jet Fuel)。但是可能期貨市場只有石油提供選擇。

到期時間不匹配:另外就是很可能到期時間跟實際上真正賣出/買入的時間有所差異 (因為期貨是標準化契約,到期時間只有固定的月份。但我們買入賣出的月份可能不落在期貨契約上),又或者更有可能發生的是,投資人在進入某個期貨合約的時候,可能仍不確定要在何時執行資產買入或賣出。此時便會發生到期時間的不匹配。

所以上述的兩種不匹配導致所謂的基差Basis Risk

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現在我們進入正題,如果把前述討論用數學表示亦可看出所謂基差風險;現在我們先定義一些變數如下:

$S_{t_2}:$ 標的資產在 時刻 $t_2$ 的價格
$S_{t_2}^*$ 期貨合約中替代的標的資產 在時刻 $t_2$ 的價格

$F_{t_2}$ 標的資產在時刻 $t_2$ 的期貨價格
$F_{t_2}^*$ 替代的標的資產 在時刻 $t_2$ 的期貨價格 
$F_{t_1}^*$ 替代的標的資產在時刻 $t_1$ 的期貨價格


現在考慮一間公司在時刻 $t=t_1$ 時使用 Short contract 並且在時刻 $t=t_2$ closed its position (注意:當我們說 closed some position 我們指的是進入一個相反的position;在此例中因為原本是使用Short contract,…

[分享] 解決 Office 2011 for mac 無法正常使用 MathType 的問題

大家好,這次主要要介紹Microsoft Office 2011 for mac 在安裝MathType無法正常開啓的問題。此文僅簡單翻譯MathType官網的解決步驟:


1. 首先,要先移除所有的 OLE registration database 檔案,總共有兩處。方法如下

先打開 Macintosh HD/Users/Your Home folder/ 此時應該可以看到一個房屋的圖示


接著進入房屋後,點選左上選單的 前往 (Go) ->前往檔案夾 -> 輸入 Library



找到下列的資料夾
Application Support/Microsoft/Office/Preferences/Office 2011/.
並于資料夾中搜尋此檔案: OLE Registration Database 
如果有此檔案請刪除


接著再到另一個資料夾:
Macintosh HD/Users/Home folder/Library/Preferences/Microsoft/Office 2011/.
並于資料夾中搜尋此檔案: OLE Registration Database 
如果有此檔案請刪除

兩個檔案都長下面這樣



2. 接著,為了讓上述OLE Registration Database恢復。請開啓Office Word 並開啟一個新的空白文件。接著再將之關閉(無需儲存),則OLE檔即可被產生

3. 最後,至http://www.dessci.com/en/dl 下載最新版MathType
重新安裝MathType (無需先移除原先已安裝的MathType)

至此,word 應可正常使用MathType.