謝宗翰的隨筆

假設 $X_n, n\ge 0 $ 為 submartingale。令 $a<b$ 且 $N_0 := -1$ 與 對任意 $k \ge 1$ 我們定義 stopping time 如下： \[\begin{array}{l} {N_{2k - 1}}: = \inf \left\{ {m > {N_{2k - 2}}:{X_m} \le a} \right\}\\ {N_{2k}}: = \inf \left\{ {m > {N_{2k - 1}}:{X_m} \ge b} \right\} \end{array} \] 且我們觀察以下事件 \[\begin{array}{l} \{ {N_{2k - 1}} < m \le {N_{2k}}\}  = \{ {N_{2k - 1}} < m\}  \cap \{ m \le {N_{2k}}\} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \underbrace {\{ {N_{2k - 1}} \le m - 1\} }_{ \in {F_{m - 1}}} \cap \underbrace {{{\{ {N_{2k}} \le m - 1\} }^c}}_{ \in {F_{m - 1}}} \in {F_{m - 1}} \end{array}\] ============== Fact: 若 $X_m, m\ge 0$ 為 submartingale 則 \[ (b-a)EU_n \le E(X_n -a)^+ - E(X_0 - a)^+ \]其中 ${U_n}: = \sup \left\{ {k:{N_{2k}} \le n} \right\}$ 表示在 時間$n$ 之前 往上穿越的個數 ============== Proof: omitted. ========== Theorem: Martingale Convergence Theorem 若 $X_n$ 為 submartingale 滿足 $\sup E[X_n^+] < \infty$ 則存在 $X

(NOTE: 此文為數學機率論相關文章，並無任何介紹任何賭博手法/訣竅...) 回憶前篇文章 [機率論] 淺論 Martingale (0) - 定義與性質 提及的 考慮一個硬派賭徒參加一場丟擲硬幣賭錢的遊戲，且若硬幣正面向上，則賭徒會贏得下注金並且停止遊戲 (take money and run)，反之，若硬幣反面向上，則賭徒輸掉下注金但此時因為賭徒並不甘心..所以會將 賭注加倍  再繼續玩。持續 $n$ 次這樣的遊戲。那麼這位賭徒宣稱靠這套 "必勝法" 最後可以贏得一筆大錢 (至少不賠本)；因為只要過程中贏得一場就可以獲得相對的加倍下注金!! 此套賭徒所宣稱的 必勝法在數學上稱做 Martingale System；我們將會在此篇文章檢驗此 Martingale 加倍賭注策略，看看之前賭徒宣稱的必勝法是否有效。 不過介紹之前需要再引入一些術語： =========== Definition: Predictable Sequence 令 $\mathcal{F}_n, n \ge 0$ 為 Filtration ， 我們稱 $H_n, n\ge 1$ 為 Predictable sequence 若下列條件成立： 若 $H_n \in \mathcal{F}_{n-1}, \; \forall n \ge 1$ (亦即 $H_n$ 為 $\mathcal{F}_{n-1}$ measurable) =========== 現在我們再次考慮 投擲銅板的賭博：若銅板正面則賭徒贏得 1元，若顯示為銅板背面則賭徒輸掉 1元。令 $X_n$ 為在 $n$ 次時賭徒的 淨收入/損失。則我們可以定義 在第 $n$ 次賭博時賭徒 "總" 贏/輸錢的量 \[{\left( {H \cdot X} \right)_n}: = \sum\limits_{m = 1}^n {{H_m}\left( {{X_m} - {X_{m - 1}}} \right)}  = \sum\limits_{m = 1}^n {{H_m}{\xi _m}} \]其中 $\xi_n := X_n - X_{n-1}$ 表示第 $n$ 次賭博到底是贏 或者 輸 的單次金額； $H_n$ 則表示成 第 $n$ 次賭博 時候 賭徒所

關於 Martingale Theory (中文譯作 鞅論)，原本 Martingale 指的是套在馬身上的韁繩 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Martingale_(PSF).png 在機率論中，Martingale 泛指一類特定的隨機過程。起初的想法如下： 考慮一個硬派賭徒參加一場丟擲硬幣賭錢的遊戲：若硬幣正面向上，則賭徒會贏得下注金並且停止遊戲 (take money and run)，反之，若硬幣反面向上，則賭徒輸掉下注金。 但此時因為賭徒並不甘心..所以他採取的策略是把 賭注加倍 再繼續玩。持續 $n$ 次這樣的遊戲。那麼這位賭徒宣稱靠這套 "必勝法" 最後可以 贏得一筆大錢 or 至少不輸；因為只要過程中贏得一場就可以獲得相對的加倍下注金!! (但此法真的可行嗎? 我們會在後續在做介紹) 現在我們引入嚴格定義： ================= Definition: Filtration 與 Adaptedness 令 $\mathcal{F}_n$ 為 filtration (亦即 $\sigma$-algebra $\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1}, \; \forall n$) 則我們說 $X_n$ 為 adapted to $\mathcal{F}_n$ 若 $X_n $ 為 $\mathcal{F}_n$-measurable。 我們說一個 random sequence $\{X_n\}$ 為 Martingale  with respect to $\{\mathcal{F}_n\}$若下列條件成立： 1. 可積條件：$E|X_n| < \infty$ 2. 可測條件：$X_n$ 為 adapted   to $\mathcal{F}_n$ ($\forall n$， $X_n $ 為 $\mathcal{F}_n$-measurable) 3. Martingale 性質：對任意 $n$，$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] = X_n$ ================= Comment: 若上述定義中的 Martingale 性質 的 $