謝宗翰的隨筆

  Definition: 令 $S \subset \mathbb{R}^n$ 則 $S$ 的 廣義直徑(generalized diameter) ，符號記作 $diam S$ 定義為 \[ diam S := \sup \{||x-y||: x,y \in S\} \] Comments: 如果上述集合為空集，則 $diam S = -\infty$ =================== Theorem: 若 $S \subset \mathbb{R}^n$ 則 \[ diam S = diam \; conv S \]=================== Proof: 令 $S \subset \mathbb{R}^n$，我們要證明 $diam S = diam conv S$。故我們先證明 \[ diam S \leq diam \; cont S\;\;\;\;\; (*) \]因為 $conv S \supset S$ 故由 廣義直徑的定義可知，上述不等式自動成立。接著我們證明 \[ diam S \geq diam \; conv S \]現在任取 $x,y \in conv S$ ， 則由 convex hull 的性質可知 存在 $x_i, y_i \in S$ 與 $\mu_i, \lambda_i \geq 0$ 且 $\sum_i \mu_i = \sum_j \lambda_j = 1$ 使得 \[ x = \sum_i^n \mu_i x_i; \;\;\; y = \sum_i^k \lambda_i y_i \]現在我們觀察 \begin{align*}   \left\| {x - y} \right\| &= \left\| {\sum\limits_i^n {{\mu _i}} {x_i} - \sum\limits_i^k {{\lambda _i}} {y_i}} \right\| \hfill \\    &= \left\| {\sum\limits_i^n {{\mu _i}} \left( {\sum\limits_i^k {{\lambda _i}} } \right){x_i} - \sum\limits_i^k {{\lambda