給定 $a \in \mathbb{R}^n$ ,我們定義 線性函數 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 滿足 \[ f(x) := a^T x = a_1 x_1 + ... + a_n x_n \] 現在我們進一步推廣上述結果:亦即上述的向量 $a = (a_1,...,a_n)$ 可以用 對稱矩陣 $(A_1,...,A_n)$ 替換,且 $ A_i \in S^m$ 為 $\mathbb{R}^{m \times m}$ 對稱矩陣,現在我們模仿上述線性函數 $f$ 定義一個新的函數如下:定義 $F: \mathbb{R}^n \to S^m$ 滿足 \[ F(x) := x_1 A_1 + ... + x_n A_n \] Comments: 1. $ F(x) $ 仍為 $\mathbb{R}^{m \times m}$ 的對稱矩陣。 2. 上述提及的 線性函數 $f(x)$ (或者又說標準內積 或者 hyperplane) 可用以形成所謂 convex polyhedra 的集合,在此不贅述。 接著我們想問 對於上述 矩陣等式 $g(x)$ 而言,是否可以定義不等式? 一般而言在線性代數中我們定義 $F(x) \succ 0$ 表示 $F(x)$ 為正定矩陣,亦即 對任意 $z \in \mathbb{R}^n$ 且 $z \neq 0$ 我們有 \[ z^T F(x) z > 0 \] 我們說 $F(x) \succeq 0$ 表示 $F(x)$ 為半正定矩陣,亦即 對任意 $z \in \mathbb{R}^n$ \[ z^T F(x) z \geq 0 \] FACT: 令 $A,B$ 為 兩實係數 對稱矩陣,若 $A \succeq 0$ 且 $B \succeq 0$ 則 \[ A+B \succeq 0 \] Proof: omitted ( 此證明相對容易,在此略過 ) ======================== Definition: Linear Matrix Inequality (LMI) 我們稱一不等式 為對 $x$ 而言的線性矩陣不等式 (Linear Matrix Inequality in $x$, LMI) 若 前